Question

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f =26 см. Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 25 до 45 см, а расстояние d2 от линзы до экрана — в пределах от 175 до 195 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение 1/d1+1/d2=1/f Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.

Answer 1

1/f = 1/26 = 1/d1 + 1/d2.
Выразим d1 через d2.
1/d1 = 1/26 - 1/d2 = (d2 - 26)/(26d2)
d1 = 26*d2/(d2 - 26) - должно быть минимальным
Производная
$d1'= \frac{26(d2-26)-26d2}{(d2-26)^2} = \frac{-26^2}{(d2-26)^2} \ \textless \ 0$  при любом d2.
Значит, функция строго убывает.
Минимальное значение будет при максимальном d2 = 195
$d1= \frac{26*195}{195-26}= \frac{26*195}{169}= \frac{2*13*15*13}{13^2}=30$

Answer 2

Для определения наименьшего расстояния от линзы до лампочки, при котором изображение на экране будет четким, мы можем использовать заданное соотношение для собирающей линзы:

1/d1 + 1/d2 = 1/f

Где:

• f = 26 см (фокусное расстояние линзы)
• d2 изменяется в пределах от 175 до 195 см (расстояние от линзы до экрана)

Мы хотим найти наименьшее значение d1, при котором изображение будет четким. Для этого выберем наибольшее значение d2 (195 см) и подставим все известные значения в уравнение:

1/d1 + 1/195 = 1/26

Теперь решим это уравнение относительно d1:

1/d1 = 1/26 - 1/195

После вычислений:

d1 = 1 / (1/26 - 1/195)

d1 ≈ 23.86 см

Ответ: Наименьшее расстояние от линзы до лампочки, при котором изображение на экране будет четким, составляет около 23.86 см.