Question

Помогите пожалуйста Интеграл (x-2)/(x^2-x) dx

Answer 1

X-2/x(x-1)=1/(x-1)-2/x(x-1)
∫dx/(x-1)=ln(x-1)
-1/x(x-1)=1/x-1/(x-1)
2∫[1/x-1/(x-1)]dx=2lnx-2ln(x-1)
∫(x-2)/(x^2-x) dx=ln(x-1)-2lnx-2ln(x-1)=-ln(x-1)-2lnx

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить этот интеграл. Давайте начнем:

Интеграл: ∫(x - 2)/(x^2 - x) dx

Сначала давайте попробуем разложить дробь на простые слагаемые (partial fraction decomposition):

(x - 2)/(x^2 - x) = A/x + B/(x - 1)

Теперь найдем значения A и B, умножив обе стороны на общий знаменатель (x(x - 1)):

x - 2 = A(x - 1) + Bx

Теперь подставим x = 0 и x = 1, чтобы найти A и B:

При x = 0: -2 = -A A = 2

При x = 1: -1 = 2A + B B = -3

Таким образом, разложение на простые дроби будет:

(x - 2)/(x^2 - x) = 2/x - 3/(x - 1)

Теперь мы можем проинтегрировать каждую из этих дробей:

∫(2/x) dx - ∫(3/(x - 1)) dx

Интеграл ∫(2/x) dx можно решить как логарифм:

∫(2/x) dx = 2∫(1/x) dx = 2ln|x| + C1

Интеграл ∫(3/(x - 1)) dx можно решить с помощью замены переменной. Пусть u = x - 1, тогда du = dx:

∫(3/(x - 1)) dx = ∫(3/u) du = 3∫(1/u) du = 3ln|u| + C2 = 3ln|x - 1| + C2

Итак, окончательное решение:

∫(x - 2)/(x^2 - x) dx = 2ln|x| - 3ln|x - 1| + C,

где C = C1 + C2 - произвольная постоянная.