Question

Пожалуйсто помогите 9^x-10×2^x +9<=0 решить неравенство

Answer 1

 решим исследуя ф-цию y=9^x-10*2^x +9   x1=0  y=0
y'=9^x*ln9-10*2^x*ln2

9^x*ln9=10*2^x*ln2  (4.5)^x0=ln2/ln9   x0<log4.5 (ln2/ln9)   убывает после данного х0 возрастает. y0<0

9^x+9=10*2^x   получается только примерное значение второго корня
х2≈1,2
x∈(0;1.2)   дополнительно приложен график.

Answer 2

Давайте решим это неравенство по шагам.

У вас есть неравенство:

$9^x - 10 \cdot 2^x + 9 \leq 0.$

Первым шагом давайте попробуем упростить его, вынесем общий множитель 9:

$9 \cdot (3^x - 2^x) + 9 \leq 0.$

Теперь вынесем 9 за скобку:

$9 \cdot (3^x - 2^x + 1) \leq 0.$

Теперь у нас есть умножение на положительное число (9). Это значит, что неравенство останется таким же, если мы поделим обе стороны на 9:

$3^x - 2^x + 1 \leq 0.$

Это уже более простое неравенство. Давайте попробуем решить его графически. Нам нужно найти интервалы, на которых левая сторона неравенства отрицательна или равна нулю.

Для этого давайте рассмотрим функцию $f(x) = 3^x - 2^x + 1$. Мы видим, что функция возрастает, так как оба слагаемых $3^x$ и $2^x$ возрастают. К тому же, $f(0) = 1 > 0$, и $f(1) = 3 - 2 + 1 = 2 > 0$. Это означает, что функция положительна на интервале $(0, 1)$.

Следовательно, неравенство выполняется только для значений $x$, не входящих в интервал $(0, 1)$, то есть $x \leq 0$ или $x \geq 1$:

$x \leq 0 \quad \text{или} \quad x \geq 1.$

Итак, множество решений данного неравенства: $(- \infty, 0] \cup [1, +\infty)$.