Question

К чему равно выражение 1 -(1+tg^2a/2tga)^2

Answer 1

1+tg²a=1/cos²a
1/cos²a:2tga=1/cos²a*cosa/(2sina)=1/(2sinacosa)=1/sin2a
(1/sin2a)²=1/sin²2a
1-1/sin²2a=(sin²2a-1)/sin²2a=-cos²2a/sin²2a=-ctg²2a

Answer 2

Давайте разберем это выражение по шагам:

1. Выражение внутри скобок: $1 + \tan^2\left(\frac{a}{2}\right)$.

2. Так как $\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1$, то можем переписать: $1 + \sec^2\left(\frac{a}{2}\right) - 1$.

3. Известно, что $\sec^2(x) = 1/\cos^2(x)$, поэтому: $1 + \frac{1}{\cos^2\left(\frac{a}{2}\right)} - 1$.

4. Упростим: $\frac{1}{\cos^2\left(\frac{a}{2}\right)}$.

5. Далее: $\sec^2\left(\frac{a}{2}\right)$.

6. Вспоминаем, что $\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$, поэтому: $\left(\frac{1}{\cos\left(\frac{a}{2}\right)}\right)^2$.

Теперь, подставив это значение обратно в исходное выражение:

$1 - \left(\frac{1}{\cos\left(\frac{a}{2}\right)}\right)^2$.

Здесь выражение $\frac{1}{\cos\left(\frac{a}{2}\right)}$ представляет собой секанс, который обратно квадрату является косекансом в квадрате:

$1 - \csc^2\left(\frac{a}{2}\right)$.

Итак, равенство выражения $1 - \left(1 + \tan^2\left(\frac{a}{2}\right)\right)^2$ эквивалентно $1 - \csc^2\left(\frac{a}{2}\right)$.