Question

На доске выписаны числа от 1 до 2017. Ученик подчеркнул все числа, делящиеся на 2,затем все числа, делящиеся на 3,а затем, все числа, делящиеся на 5. Сколько чисел подчёркнуто ровно 2 раза?

Answer 1

Так как 2 и 3, 2 и 5, 3 и 5 взаимно просты, то
(искомые числа - числа от 1 до 2017 которые делятся нацело на два из заявленных числе и не делятся нацело на третье)
числа подчеркнутые ровно 2 раза будут числами 2*3*k, где k нацело не делится на 5,  2*5*l, где l не делится нацело на 3 и 3*5*m, где m - нацело не делится на 2
k, l m, натуральные числа

Рассмотрим первый ряд чисел 6k это числа кратные 6 (6*1, ..., 6*336)
2017=6*336+1
без учета чисел 30k* - чисел кратных 30 (30*1, .., 30*67)
2017=30*67+7
т.е. всего таких чисел будет 336-67=269

Рассмотрим второй ряд чисел 10l єто числа кратные 10 (10*1, ..., 10*201)
2017=10*201+7
без учета чисел 30l* - чисел кратных 30 (30*1, .., 30*67)
2017=30*67+7
т.е. всего таких чисел будет 201-67=134

Рассмотрим третий ряд чисел 15m єто числа кратные 15 (15*1, ..., 15*134)
2017=15*134+7
без учета чисел 30m* - чисел кратных 30 (30*1, .., 30*67)
2017=30*67+7
т.е. всего таких чисел будет 134-67=67

окончательно искомых чисел будет 269+134+67=470
ответ: 470 чисел

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать принцип включения-исключения.

Чисел, делящихся на 2, в интервале от 1 до 2017, будет 2017 / 2 = 1008 (поскольку каждое второе число делится на 2).

Чисел, делящихся на 3, будет 2017 / 3 = 672 (поскольку каждое третье число делится на 3).

Чисел, делящихся на 5, будет 2017 / 5 = 403 (поскольку каждое пятое число делится на 5).

Теперь найдем пересечения:

1. Числа, делящиеся на 2 и на 3, то есть кратные 6: 2017 / 6 = 336.

2. Числа, делящиеся на 2 и на 5, то есть кратные 10: 2017 / 10 = 201.

3. Числа, делящиеся на 3 и на 5, то есть кратные 15: 2017 / 15 = 134.

4. Числа, делящиеся и на 2, и на 3, и на 5, то есть кратные 30: 2017 / 30 = 67.

Теперь, используем принцип включения-исключения:

Количество чисел, подчеркнутых ровно один раз:

yamlCopy code
1008 + 672 + 403 - (336 + 201 + 134) + 67 = 1479.

Количество чисел, подчеркнутых ровно два раза:

Copy code
336 + 201 + 134 - 67 = 604.

Таким образом, на доске подчеркнуто ровно 2 раза 604 числа.