Question

Пользуясь правилами дифференцирования найдите производные функций: а)5х^4-3,5х²+х+6; б) (8/х + х²)√х ; в)1+х/4-х²

Answer 1

а)(5х^4-3,5х²+х+6)`=5*4x³-3,5*2x+1=20x³-7x+1
б) [(8/х + х²)√х]`=(8/x+x²)`*√x+(8/x+x²)*(√x)`=(-8/x²+2x)*√x+(8/x+x²)*1/2√x=
=-4/√x³ +5√x³/2
в)[(1+х)/(4-х²)]`=(4-x²+2x+x³)/(4-x²)²
если это была не дробь,то 1/4-2x

Answer 2

Давайте найдем производные данных функций по одной.

а) Функция: f(x) = 5x^4 - 3.5x^2 + x + 6

Чтобы найти производную функции по x, нужно дифференцировать каждый член функции по отдельности, используя правила дифференцирования. Для мономов и констант применяются следующие правила:

1. Постоянная: Производная константы равна нулю. d/dx (C) = 0, где С - это константа.

2. Моном: Производная монома вида x^n равна n*x^(n-1). d/dx (x^n) = n * x^(n-1)

Теперь найдем производные:

a) f'(x) = d/dx (5x^4) - d/dx (3.5x^2) + d/dx (x) + d/dx (6) = 20x^3 - 7x + 1

б) Функция: f(x) = (8/x + x^2)√x

Для нахождения производной такого вида функции, мы используем правило произведения функций и правило дифференцирования сложных функций (цепное правило).

1. Правило произведения функций: Если u(x) и v(x) - две функции, то производная их произведения равна (u*v)' = u'v + uv'.

2. Правило дифференцирования сложных функций (цепное правило): Если y = f(g(x)), то y' = f'(g(x)) * g'(x).

f(x) = (8/x + x^2)√x = (8x^(-1) + x^2) * x^(1/2)

f'(x) = d/dx ((8x^(-1) + x^2) * x^(1/2)) = (8 * d/dx (x^(-1)) + d/dx (x^2) * x^(1/2) + (8x^(-1) + x^2) * d/dx (x^(1/2)) = (8 * (-1) * x^(-2) + 2x * x^(1/2) + (8x^(-1) + x^2) * (1/2) * x^(-1/2)) = (-8x^(-2) + 2x^(3/2) + 4x^(-1) + (1/2) * x^(5/2))

в) Функция: f(x) = 1 + x/4 - x^2

f'(x) = d/dx (1) + d/dx (x/4) - d/dx (x^2) = 0 + (1/4) * d/dx (x) - 2x = 0 + 1/4 - 2x = 1/4 - 2x

Таким образом, производные данных функций будут:

а) f'(x) = 20x^3 - 7x + 1 б) f'(x) = -8x^(-2) + 2x^(3/2) + 4x^(-1) + (1/2) * x^(5/2) в) f'(x) = 1/4 - 2x