Question

Доказать тождество: 1-sin^2x/1-cos^2x=1/tg^2x

Answer 1

$\frac{1-Sin ^{2} x}{1-Cos ^{2} x}= \frac{Cos ^{2} x}{Sin ^{2} x} =ctg^{2}x= \frac{1}{tg ^{2}x } \\\\ \frac{1}{tg ^{2} x}= \frac{1}{tg ^{2}x }$  тождество доказано

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны и постепенно преобразуем её:

1 - sin^2(x) / (1 - cos^2(x))

Используем тригонометрические тождества: sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Тогда заменим cos^2(x) в числителе и знаменателе:

1 - sin^2(x) / sin^2(x)

Теперь вынесем sin^2(x) за скобку:

sin^2(x) * (1 - 1/sin^2(x))

После сокращения синусов получим:

sin^2(x) * (sin^2(x)/sin^2(x) - 1/sin^2(x))

1 * (1 - 1/sin^2(x))

Теперь вспомним определение тангенса:

tg(x) = sin(x) / cos(x)

и выразим sin^2(x) через tg^2(x):

sin^2(x) = tg^2(x) * cos^2(x)

Подставим это значение обратно:

1 - 1 / (tg^2(x) * cos^2(x))

Умножим числитель и знаменатель на (cos^2(x) / cos^2(x)), чтобы объединить дроби:

(cos^2(x) - 1) / (tg^2(x) * cos^2(x))

Теперь вспомним еще одно тригонометрическое тождество:

1 - cos^2(x) = sin^2(x)

Подставим это значение:

sin^2(x) / (tg^2(x) * cos^2(x))

Используем определение тангенса еще раз:

tg^2(x) = sin^2(x) / cos^2(x)

Подставим вместо tg^2(x):

sin^2(x) / (sin^2(x) / cos^2(x) * cos^2(x))

sin^2(x) / sin^2(x)

Теперь в числителе и знаменателе сокращаем sin^2(x):

1

Таким образом, левая сторона равна 1, что доказывает тождество:

1 - sin^2(x) / (1 - cos^2(x)) = 1 / tg^2(x)