Question

Найти dy/dx и d^2y/dx^2 для заданных функций: а) y=xe^-x^2; б)x=lnt; в) y=1/2(t+1/t)

Answer 1

1) $y=x*e^{-x^2}$
$\frac{dy}{dx}=1*e^{-x^2}+x*e^{-x^2}*(-2x)=(1-2x^2)e^{-x^2}$
$\frac{d^2y}{dx^2} =(-4x)e^{-x^2}+(1-2x^2)e^{-x^2}*(-2x)=(-4x-2x+4x^3)e^{-x^2}= \\ =(4x^3-6x)e^{-x^2}=2x(2x^2-3)e^{-x^2}$

2) Функция задана параметрически
{ x = ln t
{ y = 1/2*(t+1/t)
Берем производные по параметру t:
{ x' = 1/t
{ y' = 1/2*(1 - 1/t^2) = (t^2 - 1)/(2t^2)
Первая производная:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y'}{x'} = \frac{t^2-1}{2t^2} : \frac{1}{t} = \frac{t^2-1}{2t}$
Берем вторые производные по параметру t:
{ $x'' =- \frac{1}{t^2}$
{ $y'' = \frac{2t*2t^2-(t^2-1)*4t}{4t^4}= \frac{4t}{4t^4} = \frac{1}{t^3}$
Вторая производная:
$\frac{d^2y}{d^2x} = \frac{y''*x'-x''*y'}{(x')^3} = (\frac{1}{t^3}* \frac{1}{t}+ \frac{1}{t^2}* \frac{t^2-1}{2t^2}):( \frac{1}{t} )^3= \frac{2+t^2-1}{2t^4}*t^3= \frac{t^2+1}{2t}$

Answer 2

Давайте найдем производные для каждой из заданных функций:

а) y = x * e^(-x^2)

1. Найдем dy/dx: Для этого применим правило производной произведения функций. (dy/dx) = (d/dx) [x * e^(-x^2)]

Используем правило производной произведения (uv)' = u'v + uv': (dy/dx) = (1 * e^(-x^2)) + (x * d/dx[e^(-x^2)])

Теперь найдем производную e^(-x^2): (d/dx)[e^(-x^2)] = e^(-x^2) * d/dx[-x^2]

Используем правило производной сложной функции (e^u)' = u' * e^u: (d/dx)[e^(-x^2)] = e^(-x^2) * (-2x)

Теперь подставим найденное значение обратно в выражение для (dy/dx): (dy/dx) = e^(-x^2) - 2x^2 * e^(-x^2)

б) x = ln(t)

1. Найдем dx/dt: По определению логарифма натурального числа, ln(t)' = 1/t (dx/dt) = 1/t

2. Теперь найдем dy/dx: Для этого используем правило дифференцирования сложной функции. (dy/dx) = (dy/dt) / (dx/dt)

Функция y не задана явно, но если предположить, что y = ln(t), то (dy/dt) = 1/t

Теперь можем найти dy/dx: (dy/dx) = (1/t) / (1/t) = 1

в) y = 1/2 * (t + 1/t)

1. Найдем dy/dt: (dy/dt) = (d/dt)[1/2 * (t + 1/t)]

Для этого применим правило производной суммы и правило производной частного. (dy/dt) = 1/2 * (1 + d/dt[1/t])

Производная 1/t: (d/dt)[1/t] = -1/t^2

Теперь подставим найденное значение обратно в выражение для (dy/dt): (dy/dt) = 1/2 * (1 - 1/t^2)

2. Найдем d^2y/dt^2 (вторая производная): (d^2y/dt^2) = (d/dt)[1/2 * (1 - 1/t^2)]

Используем правило производной разности и правило производной частного. (d^2y/dt^2) = -1/2 * (d/dt)[1/t^2]

Производная 1/t^2: (d/dt)[1/t^2] = -2/t^3

Теперь подставим найденное значение обратно в выражение для (d^2y/dt^2): (d^2y/dt^2) = -1/2 * (-2/t^3) = 1/t^3

Для более точных ответов, уточните функцию y в пункте (б), так как в задании не указано, какая именно функция связывает x и t.