Question

Найдите предел последовательности: lim (2n²-3n+11)/(9-4n-n²), где n стремится к бесконечности

Answer 1

--------------------

Answer 2

Для нахождения предела данной последовательности, нужно проанализировать выражение и применить правило Лопиталя, если оно пригодно для применения.

Исходное выражение: lim (2n² - 3n + 11) / (9 - 4n - n²) при n стремится к бесконечности.

Посмотрим на выражение в знаменателе (9 - 4n - n²). При n стремится к бесконечности, квадратичный член (n²) будет преобладать, и остальные члены не имеют значения. Поэтому знаменатель будет стремиться к -∞.

Теперь рассмотрим числитель (2n² - 3n + 11). При n стремится к бесконечности, квадратичный член (2n²) также будет преобладать, и остальные члены не имеют значения. Поэтому числитель будет стремиться к +∞.

Получается, что мы имеем деление на 0, что может быть неопределенностью типа ∞/∞.

Чтобы решить эту неопределенность, применим правило Лопиталя. Правило Лопиталя позволяет находить предел отношения двух функций, если оба предела числителя и знаменателя равны ∞ или -∞ или оба равны 0.

Применим правило Лопиталя: lim (2n² - 3n + 11) / (9 - 4n - n²) = lim (d/dn)(2n² - 3n + 11) / (d/dn)(9 - 4n - n²)

Производные: lim (4n - 3) / (-4 - 2n) при n стремится к бесконечности

При n стремится к бесконечности, числитель и знаменатель стремятся к константам (4 и -4 соответственно). Таким образом, предел равен:

lim (4n - 3) / (-4 - 2n) = 4 / -4 = -1

Ответ: lim (2n² - 3n + 11) / (9 - 4n - n²) = -1.