Question

1. Дана функция f(x)=2x^3+3x^2-1. Найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции б) наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-1;2] 2. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)=x^3+3x^2-2x+2 в точке с абсциссой x0=1 3. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)=x^3-3x^2+2x+10, параллельной прямой y=-x+5

Answer 1

1. Дана функция f(x)=2x³+3x²-1. Найдите:
а) промежутки возрастания и убывания функции
f'(x) = 6x² +6x
6x² + 6x = 0
x(6x +6) = 0
x = 0    или          6х +6 = 0
                            х = -1
-∞              -1               0               +∞
          +                -                +          это знаки 6x² +6x
f(x) возрастает при х∈(-∞; -1) 
f(x) убывает при х∈ (-1; 0)
f(x)  возрастает при х ∈ (0; + ∞)
б) наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-1;2]
 из найденных критических точек в указанный промежуток попали  и -1  и  0
f(-1) = 2*(-1)³ + 3*(-1)² -1 = 0
f(0)= 2*0 +3*0 -1 = -1
f(2) = 2*2³ + 3*2² -1 = 27
max f(x) = f(2) = 27
min f(x) = f(0) = -1 
2. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)=x³+3x²-2x+2 в точке с абсциссой x₀=1
y₀ = 1³ +3*1² -2*1 +2 = 4
f'(x) = 3x² +6x -2
f'(1) = 3*1² +6*1 -2 = 7
пишем само уравнение касательной:
у - 4 = 7(х - 1)
у - 4 = 7х -7
у = 7х -3
3. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)=x³-3x²+2x+10, параллельной прямой y=-x+5
У прямой у = -х +5 угловой коэффициент = -1. А угловой коэффициент- это производная в точке касания
так что: f'(x) = 3x² -6x +2 = -1, ⇒3x² -6x +3 = 0,⇒ x² -2x +1 = 0, ⇒ x = 1 - это абсцисса точки касания.
х₀ = 1
у₀ = f(1) = 1³ -3*1² +2*1+10 = 10
теперь пишем само уравнение касательной:
у - 10 = -1(х - 1)
у - 10 = -х +1
у = -х +9

Answer 2

РЕШЕНИЕ
Задача 1.
 - Локальные экстремумы в корнях первой производной.
Y'(x) = 6*x²+6*x = 6*x*(x +1) = 0 
Корни: х1 = - 1 и х2 = 0
Функция убывает между корнями.
ОТВЕТ: Убывает - Х∈(-1;0), возрастает - Х∈(-∞;-1)∪(0;+∞)
Экстремумы в интервале
Максимум -  Y(2) = 27 - ОТВЕТ
Минимум - Y(0) = -1  - ОТВЕТ
Задача 2. - Уравнение касательной в точке Хо = 1.
F(x) = x³+3*x² - 2*x+2
Y = F'(x)*(x-Xo) + F(Xo) - уравнение касательной.
F'(x) = 3*x² + 6*x - 2 - уравнение производной.
Вычисляем при Хо = 1.
F'(1) = 7, F(1) = 4.
Уравнение касательной в т. Хо = 1.
Y = 7*x - 3 - касательная - ОТВЕТ (рисунок в приложении)
3.
Находим производную функции.
F'(x) = 3*x² - 6*x + 2.
Параллельно У = - х +5 - значение производной равно -1.
F'(x) = 0 при Хо = 1.
Уравнение касательной
Y = -x + 11 - ОТВЕТ (рисунок в приложении)

Answer 3

1. Промежутки возрастания и убывания функции f(x):

Для определения промежутков возрастания и убывания функции, нужно найти её производную и выяснить знак этой производной на различных интервалах.

Первая производная функции f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 1: f'(x) = 6x^2 + 6x.

Теперь найдем критические точки (где производная равна нулю или не существует): 6x^2 + 6x = 0 6x(x + 1) = 0

Таким образом, получаем две критические точки: x = 0 и x = -1.

Составим таблицу знаков производной относительно этих точек и проанализируем изменение знаков:

Интервал	(-∞, -1)	(-1, 0)	(0, +∞)
Знак производной	+	-	+

Из этой таблицы видно, что на интервале (-∞, -1) и (0, +∞) функция возрастает, а на интервале (-1, 0) функция убывает.

2. Наибольшее и наименьшее значение функции f(x) на отрезке [-1; 2]:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке, нужно вычислить значения функции на его концах и в критических точках.

f(-1) = 2*(-1)^3 + 3*(-1)^2 - 1 = -2 + 3 - 1 = 0 f(2) = 22^3 + 32^2 - 1 = 16 + 12 - 1 = 27

Также, как было выяснено ранее, у нас есть критическая точка x = -1. Подставляем её в функцию: f(-1) = 0

Итак, на отрезке [-1; 2] наименьшее значение функции равно 0 (достигается в точке x = -1), а наибольшее значение равно 27 (достигается в точке x = 2).

3. Уравнение касательной к графику функции f(x) = x^3 + 3x^2 - 2x + 2 в точке с абсциссой x0 = 1:

Сначала найдем производную функции: f'(x) = 3x^2 + 6x - 2.

Затем подставим x = 1, чтобы найти угловой коэффициент касательной в точке (1, f(1)): f'(1) = 31^2 + 61 - 2 = 3 + 6 - 2 = 7.

Теперь используем точку (1, f(1)) и угловой коэффициент 7 в уравнении прямой: y - y1 = m(x - x1), где (x1, y1) = (1, f(1)).

Уравнение касательной: y - f(1) = 7(x - 1).

4. Уравнение касательной к графику функции f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 10, параллельной прямой y = -x + 5:

Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент.

Производная функции f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 10: f'(x) = 3x^2 - 6x + 2.

Угловой коэффициент прямой y = -x + 5 равен -1.

Найдем значение x, при котором производная равна -1: 3x^2 - 6x + 2 = -1, 3x^2 - 6x + 3 = 0, x^2 - 2x + 1 = 0, (x - 1)^2 = 0, x = 1.

Таким образом, касательная к графику функции f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 10, параллельная прямой y = -x + 5, имеет уравнение: y - f(1) = -1(x - 1).