Question

Сума первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 130: b1+b3=130. Квадрат второго члена равен 625: (b2)2=625. Найти члены этой прогрессии. *Задача из памяти, надеюсь, формулировка понятна*.

Answer 1

Вот решение в полном виде
на 2 листке ответы

Answer 2

Да, формулировка понятна. Для решения этой задачи, давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как b1, а знаменатель прогрессии как q (так как это геометрическая прогрессия). Тогда второй член будет b2 = b1 * q, а третий член b3 = b1 * q^2.

У нас есть два условия:

1. b1 + b3 = 130
2. b2^2 = 625

Заменим b2 и b3 в первом уравнении:

b1 + b1 * q^2 = 130

Факторизуем b1:

b1 * (1 + q^2) = 130

Теперь, зная, что b2^2 = 625, можем найти b2:

b2^2 = (b1 * q)^2 = b1^2 * q^2 = 625

Теперь избавимся от q во втором уравнении:

b1^2 * q^2 = 625

Теперь используем второе уравнение, чтобы найти b1:

b1^2 * q^2 = 625

b1^2 * (b1 * q)^2 = 625

b1^2 * b1^2 * q^2 = 625

b1^4 * q^2 = 625

Теперь мы знаем, что b1^4 * q^2 = 625 и b1 * (1 + q^2) = 130. Мы можем решить систему уравнений, подставив второе уравнение в первое:

b1^4 * (130 / b1)^2 = 625

130^2 = 625 * b1^2

16900 = 625 * b1^2

b1^2 = 16900 / 625

b1^2 = 27.04

Так как члены геометрической прогрессии являются числами, b1 должно быть положительным, поэтому:

b1 = √27.04

b1 ≈ 5.2

Теперь найдем q:

1 + q^2 = 130 / b1

q^2 = 130 / b1 - 1

q^2 ≈ 130 / 5.2 - 1

q^2 ≈ 24.04

q ≈ √24.04

q ≈ 4.9

Теперь мы знаем, что первый член b1 ≈ 5.2 и знаменатель прогрессии q ≈ 4.9. Мы можем найти остальные члены прогрессии, зная, что:

b2 = b1 * q ≈ 5.2 * 4.9 ≈ 25.48

b3 = b1 * q^2 ≈ 5.2 * 4.9^2 ≈ 124.352

Таким образом, члены геометрической прогрессии примерно равны: b1 ≈ 5.2, b2 ≈ 25.48 и b3 ≈ 124.352.