Question

1.Разложите на множители: а) (2а^3-3b^2)^2-(2a^3+b^2)^2; б) x^2-5x+4; в) 1/4a^4+2a^2b^2+4b^4; г) x^2+6xy+8y^2 2.Преобразуйте алгебраическое выражение в многочлен стандартного вида: 3(3-x^2)-(9-3x^2+x^4)(x^2+3)-3(x^2-x)(x^2+x) 3. Вычислите значение алгебраического выражения при каждом значении x: (x-1)(x-3)(x+4)-(x+1)(x+3)(x-4)

Answer 1

А) (2а^3-3b^2)^2-(2a^3+b^2)^2=(2a³-3b²+2a³+b²)(2a³-3b²-2a³-b²)=(4a³-2b²)(-4b²)=-8b²(2a³-b²)
б) x^2-5x+4=x²-x-4x+4=x(x-1)-4(x-1)=(x-1)(x-4)
в) 1/4a^4+2a^2b^2+4b^4=(a²/2+2b²)(a²/2+2b²)
г) x^2+6xy+8y^2=x²+4xy+2xy+8y²=x(x+4y)+2y(x+4y)=(x+4y)(x+2y)

3(3-x^2)-(9-3x^2+x^4)(x^2+3)-3(x^2-x)(x^2+x)=
9-3x²-x⁶-27-3(x⁴-x²)=9-3x²-x⁶-27-3x⁴+3x²=-x⁶-3x⁴-18

(x-1)(x-3)(x+4)-(x+1)(x+3)(x-4)=
(x-1)(x²-3x+4x-12)-(x+1)(x²+3x-4x-12)=
(x-1)(x²+x-12)-(x+1)(x²-x-12)=
x³-x²+x²-x-12x+12-(x³+x²-x²-x-12x-12)=
x³-13x+12-x³+13x+12=24

Answer 2

Давайте решим каждое из предложенных заданий:

1. Разложение на множители: а) (2а^3-3b^2)^2 - (2a^3+b^2)^2

Для удобства обозначим: p = 2a^3 и q = b^2 Тогда данное выражение примет вид: (p - 3q)^2 - (p + q)^2

Теперь воспользуемся формулой разности квадратов: a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

Таким образом, наше выражение может быть представлено как разность двух квадратов: ((p - 3q) + (p + q))((p - 3q) - (p + q)) = (p - 3q + p + q)(p - 3q - p - q) = (2p - 2q)(-4q) = -8pq

Ответ: -8ab^2

б) x^2 - 5x + 4

Данное выражение не может быть разложено на множители вещественных чисел. Оно имеет следующий вид: (x - 1)(x - 4).

Ответ: x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)

в) 1/4a^4 + 2a^2b^2 + 4b^4

Данное выражение является суммой кубов и может быть разложено с помощью формулы суммы кубов: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Подставим значения: a^4 = a^2 * a^2 и 4b^4 = (2b^2)^2 Теперь выражение примет вид: (1/2a^2)^2 + 2a^2b^2 + (2b^2)^2

Теперь воспользуемся формулой суммы кубов: 1/2a^2 + 2b^2 = (1/2a^2 + 2b^2)(1/4a^4 - 2a^2b^2 + 4b^4) = (1/2a^2 + 2b^2)((1/2a^2)^2 - (2a^2b^2) + (2b^2)^2)

Ответ: 1/4a^4 + 2a^2b^2 + 4b^4 = (1/2a^2 + 2b^2)((1/2a^2)^2 - 2a^2b^2 + (2b^2)^2)

г) x^2 + 6xy + 8y^2

Данное выражение является квадратным трехчленом и может быть разложено с помощью формулы квадратного трехчлена: a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2

Выражение уже находится в форме квадратного трехчлена, поэтому оно не может быть разложено дальше.

Ответ: x^2 + 6xy + 8y^2 = (x + 2y)^2

2. Преобразование алгебраического выражения в многочлен стандартного вида: 3(3 - x^2) - (9 - 3x^2 + x^4)(x^2 + 3) - 3(x^2 - x)(x^2 + x)

Для начала упростим скобки и раскроем произведения: 3(3 - x^2) - (9 - 3x^2 + x^4)(x^2 + 3) - 3(x^2 - x)(x^2 + x) = 9 - 3x^2 - (9 - 3x^2 + x^4)(x^2 + 3) - 3x^3 + 3x^2 + 3x^2 - 3x^3

Теперь умножим скобки: 9 - 3x^2 - (9 - 3x^2 + x^4)(x^2 + 3) - 3x^3 + 3x^2 + 3x^2 - 3x^3 = 9 - 3x^2 - (9x^2 + 27 - 3x^4 - 9x^2) - 3x^3 + 3x^2 + 3x^2 - 3x^3

Упростим выражение: 9 - 3x^2 - (9x^2 + 27 - 3x^4 - 9x^2) - 3x^3 + 3x^2 + 3x^2 - 3x^3 = 9 - 3x^2 - (27 - 3x^4) - 3x^3 + 3x^2 + 3x^2 - 3x^3

Теперь раскроем скобки: 9 - 3x^2 - (27 - 3x^4) - 3x^3 + 3x^2 + 3x^2 - 3x^3 = 9 - 3x^2 - 27 + 3x^4 - 3x^3 + 3x^2 + 3x^2 - 3x^3

Сгруппируем подобные слагаемые: 9 - 27 + 3x^4 - 3x^3 + 3x^2 + 3x^2 - 3x^3 = -18 + 3x^4 - 6x^3 + 6x^2

Таким образом, преобразованное выражение в многочлен стандартного вида: 3(3 - x^2) - (9 - 3x^2 + x^4)(x^2 + 3) - 3(x^2 - x)(x^2 + x) = -18 + 3x^4 - 6x^3 + 6x^2

3. Вычисление значения ал