Question

Доказать, что разность квадратов двух нечетных чисел, одно из которых на 4 больше другого, делится на 8

Answer 1

(n+4)²-n²=n²+8n+16-n²=8(n+2)  делится на 8.

Answer 2

Давайте докажем, что разность квадратов двух нечетных чисел, одно из которых на 4 больше другого, делится на 8.

Пусть у нас есть два нечетных числа: n и n+4.

Тогда квадрат первого числа будет (n^2), а квадрат второго числа будет ((n+4)^2).

Теперь рассмотрим разность их квадратов:

(n^2) - ((n+4)^2)

Раскроем скобки:

(n^2) - (n^2 + 8n + 16)

Упростим выражение:

n^2 - n^2 - 8n - 16

Теперь у нас осталось выражение -8n - 16.

Мы знаем, что n является нечетным числом, и (n+4) тоже является нечетным числом, так как оно получается прибавлением 4 к нечетному числу. Таким образом, мы можем представить n как 2k+1 и (n+4) как 2m+1, где k и m являются целыми числами.

Теперь подставим значения n и (n+4) в наше выражение -8n - 16:

-8(2k+1) - 16

Упростим:

-16k - 8 - 16

-16k - 24

Теперь заметим, что -16k делится на 8, так как 16k является кратным 8, а -24 также делится на 8, так как 24 также является кратным 8.

Таким образом, вся разность -8n - 16 делится на 8, что и требовалось доказать.

Таким образом, разность квадратов двух нечетных чисел, одно из которых на 4 больше другого, делится на 8.