Question

Решить уравнение : x+3x+5x+...+21x=x²+120

Answer 1

X 3x 5x ... 21x - арифмитическая прогрессия, у которой a1=x, an=21x и d=3x-x=2x
по формуле суммы арифмитической прогрессии:
an=a1+d(n-1)
21x=x+2x(n-1)
поделим обе части на x
21=1+2(n-1)
21=1+2n-2
2n=22
n=11
$S=\frac{a_1+a_n}{2}*n=\frac{x+21x}{2}*11=11x*11=121x$

получим:
$121x=x^2+120 \\x^2-121x+120= \\D=121^2-120*4=121^2-480=14641-480=119^2 \\x_1=\frac{121+119}{2}=120 \\x_2=\frac{121-119}{2}=1$

Ответ: x1=120; x2=1

Answer 2

Для решения уравнения, сначала сгруппируем слева все одинаковые слагаемые с переменной x:

x + 3x + 5x + ... + 21x = (1 + 3 + 5 + ... + 21) * x

Теперь найдем сумму арифметической прогрессии от 1 до 21:

Сумма арифметической прогрессии: S = (n/2) * (a + l),

где n - количество членов прогрессии, a - первый член, l - последний член.

В данном случае n = (21 - 1)/2 + 1 = 11 (11 членов прогрессии от 1 до 21), a = 1, l = 21.

Таким образом, сумма прогрессии равна S = (11/2) * (1 + 21) = 11 * 11 = 121.

Подставим значение суммы обратно в уравнение:

(1 + 3 + 5 + ... + 21) * x = 121 * x

Теперь уравнение имеет вид:

121x = x² + 120

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

x² - 121x + 120 = 0

Теперь решим уравнение квадратного типа. Можно использовать факторизацию или квадратное уравнение.

Факторизуем:

x² - 121x + 120 = (x - 1)(x - 120) = 0

Теперь получим два решения:

1. x - 1 = 0 => x = 1
2. x - 120 = 0 => x = 120

Итак, уравнение имеет два корня: x = 1 и x = 120.