Question

Найдите точку минимума функции y=(x+11)^2*e^3-x

Answer 1

Ответ:

x= - 11 точка локального минимума функции

Объяснение:

Дана функция

$\tt \displaystyle y=(x+11)^2 \cdot e^{3-x}$

1) Вычислим производную от функции:

$\tt \displaystyle y'=((x+11)^2 \cdot e^{3-x})'=(x+11)^2 )'\cdot e^{3-x}+(x+11)^2 \cdot( e^{3-x})' =$

$\tt \displaystyle =2 \cdot (x+11) \cdot e^{3-x}+(x+11)^2 \cdot (-1) \cdot e^{3-x} =$

$\tt \displaystyle =e^{3-x} \cdot (2 \cdot (x+11)-(x+11)^2) =-e^{3-x} \cdot (x^2+20\cdot x+99).$

2) Находим критические точки:

$\tt \displaystyle y'=0 \Leftrightarrow -e^{3-x} \cdot (x^2+20\cdot x+99)=0 \Leftrightarrow x^2+20\cdot x+99=0:$

$\tt \displaystyle D=20^2-4 \cdot 1 \cdot 99= 400-396=4=2^2$

$\tt \displaystyle x_{1}=\frac{-20-2}{2}=-11\\\\ x_{2}=\frac{-20+2}{2}=-9.$

3) Определим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого представим производную от функции в следующем виде и применим метод интервалов:

$\tt \displaystyle y'=-e^{3-x} \cdot (x+11) \cdot (x+9).$

Точки -11 и -9 делят ось Ох на 3 интервала: (-∞; -11), (-11; -9) и (-9; +∞).

а) Пусть x= -12∈(-∞; -11):

$\tt \displaystyle y'(-12)=-e^{3-(-12)} \cdot (-12+11) \cdot (-12+9)=-e^{15} \cdot (-1) \cdot (-3)=-3\cdot e^{15}$

Значит, на интервале (-∞; -11) функция убывает.

б) Пусть x= -10∈(-11; -9):

$\tt \displaystyle y'(-10)=-e^{3-(-10)} \cdot (-10+11) \cdot (-10+9)=-e^{13} \cdot 1 \cdot (-1)=e^{13} >0$

Значит, на интервале (-11; -9) функция возрастает.

в) Пусть x= 0∈(-9; +∞):

$\tt \displaystyle y'(0)=-e^{3-0} \cdot (0+11) \cdot (0+9)=-e^{15} \cdot 11 \cdot 9=-99\cdot e^{3}$

Значит, на интервале (-9; +∞) функция убывает.

4) Определим экстремумы функции:

Функция убывает на интервале (-∞; -11) и возрастает на интервале (-11; -9), то x= - 11 точка локального минимума функции.

Функция возрастает на интервале (-11; -9) и убывает  на интервале (-9; +∞), то x= - 9 точка локального максимума функции.

Answer 2

Для нахождения точки минимума функции y = (x + 11)^2 * e^3 - x, нужно проделать следующие шаги:

1. Найдем производную функции y по переменной x.
2. Решим уравнение производной равной нулю, чтобы найти критические точки функции.
3. Проверим вторую производную, чтобы убедиться, что найденная критическая точка действительно является точкой минимума.

Шаг 1: Найдем производную функции y по переменной x. Используем правило производной произведения функций и цепное правило:

y = (x + 11)^2 * e^3 - x

dy/dx = d/dx((x + 11)^2) * e^3 - d/dx(x) dy/dx = 2(x + 11) * e^3 - 1

Шаг 2: Решим уравнение производной равной нулю, чтобы найти критические точки функции.

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

2(x + 11) * e^3 - 1 = 0

2(x + 11) * e^3 = 1

x + 11 = 1/(2 * e^3)

x = 1/(2 * e^3) - 11

Шаг 3: Проверим вторую производную, чтобы убедиться, что найденная критическая точка действительно является точкой минимума.

Для этого найдем вторую производную функции y по переменной x:

d^2y/dx^2 = d/dx(2(x + 11) * e^3 - 1)

d^2y/dx^2 = 2e^3

Вторая производная положительна для любого значения x, что означает, что точка x = 1/(2 * e^3) - 11 является точкой минимума функции.

Таким образом, точка минимума функции y = (x + 11)^2 * e^3 - x равна x = 1/(2 * e^3) - 11.