Question

Найдите первообразную для функций : f(x) =cos x- x; f(x) = -1/x²+x³; f(x) = x⁴+3x²; f(x) =sin x + x²- 1/x²

Answer 1

Первообразная - этот функция, производная которой равна данной функции.
Таким образом,
1) F(x) =sin(x) -(x^2/2)+C,
2) F(x) =(1/x)+(x^4/4)+C,
3) F(x) =(x^5/5)+(3*x^3/3)+C или
F(х)=(x^5/5)+x^3+C
4) F(x) =-cos(x) +(x^3/3)+(1/x) +C,
где С - постоянная.

Answer 2

Для каждой из данных функций найдем их первообразные:

1. Функция: f(x) = cos(x) - x Для нахождения первообразной интегрируем каждый член функции по отдельности:

∫cos(x) dx = sin(x) + C1, где C1 - произвольная постоянная. ∫x dx = (x^2)/2 + C2, где C2 - произвольная постоянная.

Таким образом, первообразная функции f(x) будет:

∫(cos(x) - x) dx = sin(x) + (x^2)/2 + C, где C = C1 + C2 - произвольная постоянная.

2. Функция: f(x) = -1/x^2 + x^3 Также интегрируем каждый член функции по отдельности:

∫(-1/x^2) dx = ∫-x^(-2) dx = -(-1)/(1) + C1 = 1 + C1, где C1 - произвольная постоянная. ∫x^3 dx = (x^4)/4 + C2, где C2 - произвольная постоянная.

Таким образом, первообразная функции f(x) будет:

∫(-1/x^2 + x^3) dx = 1 + (x^4)/4 + C, где C = C1 + C2 - произвольная постоянная.

3. Функция: f(x) = x^4 + 3x^2 Интегрируем каждый член функции по отдельности:

∫x^4 dx = (x^5)/5 + C1, где C1 - произвольная постоянная. ∫3x^2 dx = 3 * (x^3)/3 + C2 = x^3 + C2, где C2 - произвольная постоянная.

Таким образом, первообразная функции f(x) будет:

∫(x^4 + 3x^2) dx = (x^5)/5 + x^3 + C, где C = C1 + C2 - произвольная постоянная.

4. Функция: f(x) = sin(x) + x^2 - 1/x^2 Интегрируем каждый член функции по отдельности:

∫sin(x) dx = -cos(x) + C1, где C1 - произвольная постоянная. ∫x^2 dx = (x^3)/3 + C2, где C2 - произвольная постоянная. ∫(1/x^2) dx = -x^(-1) + C3 = -1/x + C3, где C3 - произвольная постоянная.

Таким образом, первообразная функции f(x) будет:

∫(sin(x) + x^2 - 1/x^2) dx = -cos(x) + (x^3)/3 - 1/x + C, где C = C1 + C2 + C3 - произвольная постоянная.