Question

Решить уравнение 3sin2x-4cosx+3sinx-2=0 Указать корни, которые принадлежат отрезку [П/2;3П/2].

Answer 1

$3\sin2x-4\cos x+3\sin x-2=0 \\\ 3\cdot2\sin x\cos x+3\sin x-4\cos x-2=0 \\\ 3\sin x(2\cos x+1)-2(2\cos x+1)=0 \\\ (2\cos x+1)(3\sin x-2)=0 \\\ 2\cos x+1=0\Rightarrow \cos x=- \dfrac{1}{2} \\\ \boxed{ x_1= \dfrac{2 \pi }{3} +2 \pi n}\boxed{ \ x_2=- \dfrac{2 \pi }{3} +2 \pi n}, \ n\in Z \\\ 3\sin x-2=0\Rightarrow \sin x=- \dfrac{2}{3} \\\ \boxed{x_3= \arcsin\dfrac{2}{3} +2 \pi n}\ \boxed{ x_4= \pi - \arcsin\dfrac{2}{3} +2 \pi n}, \ n\in Z$

$\dfrac{ \pi }{2} \leq \dfrac{2 \pi }{3} +2 \pi n \leq \dfrac{3 \pi }{2} \\\ \dfrac{ 1 }{2} \leq \dfrac{2 }{3} +2 n \leq \dfrac{3 }{2} \\\ \dfrac{ 1 }{2} -\dfrac{2 }{3} \leq 2 n \leq \dfrac{3 }{2} -\dfrac{2 }{3} \\\ -\dfrac{1 }{6} \leq 2 n \leq \dfrac{5 }{6} \\\ -\dfrac{1 }{12} \leq n \leq \dfrac{5 }{12} \\\ n=0: \ x_1=\dfrac{2 \pi }{3} +2 \pi \cdot0=\dfrac{2 \pi }{3}$

$\dfrac{ \pi }{2} \leq - \dfrac{2 \pi }{3} +2 \pi n \leq \dfrac{3 \pi }{2} \\\ \dfrac{ 1 }{2} \leq - \dfrac{2 }{3} +2 n \leq \dfrac{3 }{2} \\\ \dfrac{ 1 }{2} +\dfrac{2 }{3} \leq 2 n \leq \dfrac{3 }{2} +\dfrac{2 }{3} \\\ \dfrac{7 }{6} \leq 2 n \leq \dfrac{13 }{6} \\\ -\dfrac{7 }{12} \leq n \leq \dfrac{13 }{12} \\\ n=1: \ x_2=-\dfrac{2 \pi }{3} +2 \pi \cdot1=\dfrac{4 \pi }{3}$

$\dfrac{ \pi }{2} \leq \arcsin\dfrac{2}{3} +2 \pi n} \leq \dfrac{3 \pi }{2} \\\ x\in \oslash$

$\dfrac{ \pi }{2} \leq \pi - \arcsin\dfrac{2}{3} +2 \pi n \leq \dfrac{3 \pi }{2} \\\ x_3=\pi - \arcsin\dfrac{2}{3}$

Ответ: $\pm\dfrac{2 \pi }{3} +2 \pi n$; $(-1)^n\arcsin\dfrac{2}{3} +\pi n$. Корни 2п/3, 4п/3, п-arcsin(2/3)

Answer 2

Для решения уравнения 3sin^2x - 4cosx + 3sinx - 2 = 0, сначала перепишем его в виде уравнения синуса, используя соотношение синуса и косинуса: sin^2x + cos^2x = 1.

Имеем: 3sin^2x - 4cosx + 3sinx - 2 = 0

Перепишем первый член уравнения, используя соотношение синуса и косинуса: 3(1 - cos^2x) - 4cosx + 3sinx - 2 = 0

Раскроем скобки: 3 - 3cos^2x - 4cosx + 3sinx - 2 = 0

Проведем несколько преобразований для удобства: 3cos^2x + 4cosx - 3sinx + 1 = 0

Теперь заметим, что уравнение имеет квадратный вид относительно косинуса: 3cos^2x + 4cosx + 1 - 3sinx = 0

Решим это квадратное уравнение относительно cos(x): cos(x) = [-4 ± √(4^2 - 4 * 3 * (1 - 3sinx)) ] / (2 * 3) cos(x) = [-4 ± √(16 + 36sinx - 36sinx)] / 6 cos(x) = [-4 ± √(16)] / 6 cos(x) = (-4 ± 4) / 6

Таким образом, получаем два значения cos(x):

1. cos(x) = (4 - 4) / 6 = 0
2. cos(x) = (4 + 4) / 6 = 2/3

Теперь найдем соответствующие значения sin(x) для каждого из этих значений cos(x):

1. Если cos(x) = 0, то sin(x) = ±1, так как sin^2x + cos^2x = 1, а cos(x) = 0.

2. Если cos(x) = 2/3, то используем тригонометрическое соотношение sin^2x + cos^2x = 1, чтобы найти sin(x): sin^2x + (2/3)^2 = 1 sin^2x + 4/9 = 1 sin^2x = 1 - 4/9 sin^2x = 5/9 sin(x) = ±√(5/9) = ±√5/3

Таким образом, у нас есть следующие возможные значения x:

1. x = П/2, sin(П/2) = 1
2. x = -П/2, sin(-П/2) = -1
3. x = arccos(2/3), sin(arccos(2/3)) = √5/3
4. x = -arccos(2/3), sin(-arccos(2/3)) = -√5/3

Теперь проверим, какие из этих корней принадлежат отрезку [П/2; 3П/2]:

1. x = П/2: Принадлежит отрезку [П/2; 3П/2]
2. x = -П/2: Не принадлежит отрезку [П/2; 3П/2]
3. x = arccos(2/3): Не принадлежит отрезку [П/2; 3П/2]
4. x = -arccos(2/3): Не принадлежит отрезку [П/2; 3П/2]

Таким образом, уравнение имеет два корня на отрезке [П/2; 3П/2]: x = П/2 и x = -П/2.