Question

Найти интеграл (√x-1)^3:x√x

Answer 1

X^4+x=x(x^3+1)=x(x+1)(x^2-x+1)
представим x^3+4x^2-2x+1/x^4+x в виде A/x + B/(x+1) + (Cx+D)/(x^2-x+1)
А (x^3+1)+B(x^3-x^2+x)+C(x^3+x^2)+D(x^2+x)=x^3+4x^2-2x+1
Т. е.
A+B+C=1
-B+C+D=4
B+D=-2
A=1
Откуда A=1,B=-2,C=2,D=0
Т. о. x^3+4x^2-2x+1/x^4+x=1/x - 2/x+1 +2x/(x^2-x+1)=1/x - 2/x+1 +(2x-1)/(x^2-x+1)+1/(x^2-x+1)
Первые три слагаемых легко интегрируются, последнее заменой приводится к виду 1 / t^2+1

Answer 2

Чтобы найти данный интеграл, воспользуемся методом замены переменных. Проведем замену:

Пусть u = √x - 1.

Тогда, u^3 = (√x - 1)^3, и x = (u + 1)^2.

Также, заменим дифференциал dx на дифференциал du:

dx = 2(u + 1) du.

Теперь выразим выражение под знаком интеграла через u:

(√x - 1)^3 / (x√x) = u^3 / ((u + 1)^2 √(u + 1)^2) = u^3 / ((u + 1)^2 * u) = u / (u + 1)^2.

Теперь можем произвести интегрирование:

∫(u / (u + 1)^2) du.

Для интегрирования этой функции, проведем еще одну замену:

Пусть z = u + 1.

Тогда du = dz.

Теперь наше интеграл примет вид:

∫(z - 1) / z^2 dz.

Разложим дробь на простые слагаемые:

(z - 1) / z^2 = z / z^2 - 1 / z^2 = 1/z - 1/z^2.

Теперь можем произвести интегрирование:

∫(1/z - 1/z^2) dz = ∫(z^(-1) - z^(-2)) dz.

Теперь интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

∫z^(-1) dz = ln|z| + C1,

∫z^(-2) dz = -z^(-1) + C2,

где C1 и C2 - произвольные константы интегрирования.

Теперь возвращаемся к переменным u и x:

ln|z| + C1 = ln|u + 1| + C1,

-z^(-1) + C2 = -(u + 1)^(-1) + C2 = -(√x)^(-1) + C2.

Таким образом, интеграл от функции (√x - 1)^3 / (x√x) равен:

ln|u + 1| - (√x)^(-1) + C,

где C = C1 + C2 - произвольная константа интегрирования.