Question

Докажите, что а^-n + а^n=0, если а не равно 0, а n - целое число.

Answer 1

Так как основание а одинаковы
а^-n+a^n=o
a^-n+n=o
степени сократятся потому что с разными знаками и получится а^0 а любое число в степени 0 равно 1
1 не равно 0
неверно

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Шаг базы: При n = 1 утверждение имеет вид: a^(-1) + a^1 = 1/a + a = (a^2 + 1)/a. Если a не равно 0, то a^2 + 1 не равно 0 (так как квадрат числа никогда не может быть отрицательным), и, следовательно, (a^2 + 1)/a не равно 0.

Шаг предположения: Предположим, что утверждение верно для некоторого целого числа k, то есть a^(-k) + a^k = 0.

Шаг индукции: Докажем, что утверждение также верно для k + 1. Рассмотрим выражение a^(-(k+1)) + a^(k+1):

a^(-(k+1)) + a^(k+1) = a^(-k-1) + a^(k+1) = 1/a^(k+1) + a^(k+1)

Теперь найдем общий знаменатель для слагаемых и приведем их к общему знаменателю:

1/a^(k+1) + a^(k+1) = (1 + a^(2k+2))/a^(k+1)

Теперь осталось показать, что числитель равен 0:

1 + a^(2k+2) = 1 + (a^(k+1))^2

Мы знаем, что предположение верно: a^(-k) + a^k = 0, следовательно, a^(k+1) + a^(-k-1) = 0. Умножим обе части на a^(k+1):

a^(k+1) * (a^(k+1) + a^(-k-1)) = a^(k+1) * 0

a^(2k+2) + a^(k+1) * a^(-k-1) = 0

a^(2k+2) + 1 = 0

Таким образом, мы получили, что числитель равен 0, и утверждение верно для k + 1.

Таким образом, мы доказали утверждение для всех целых чисел n по методу математической индукции. Если a не равно 0, то a^(-n) + a^n = 0 для любого целого числа n.