Question

При каких значениях параметра p касательная к графику функции y=x3−px в точке x0=3 проходит через точку M(6;21)?

Answer 1

Находим уравнение касательной к прямой y=x³-px  в точке x₀=3.
y `(x)=(x³-px)`=3x²-p
y `(x₀)=y`(3)=3*3²-p=27-p
y(x₀)=y(3)=3³-p*3=27-3p

y=y(x₀)+y`(x₀)(x-x₀) - общий вид уравнения касательной
y=(27-3p)+(27-p)(x-3)
y=27-3p+27x-px-81+3p
y=27x-px+54
y=(27-p)x+54 - искомое уравнение касательной

Подставим координаты точки М в найденное уравнение касательной:
(27-p)*6+54=21
162-6p+54=21
-6p=-195
p=32,5

Answer 2

Чтобы касательная проходила через точку M(6, 21) и была касательной к графику функции y = x^3 - px в точке x0 = 3, необходимо, чтобы угловой коэффициент касательной в точке (3, f(3)) равнялся значению функции в этой же точке, то есть:

f'(3) = 3^2 - p = 9 - p.

Также, касательная в точке (3, f(3)) имеет уравнение вида y - f(3) = f'(3)(x - 3).

Таким образом, уравнение касательной имеет вид y - (3^3 - p) = (9 - p)(x - 3).

Теперь, чтобы касательная проходила через точку M(6, 21), подставим координаты M(6, 21) в уравнение касательной:

21 - (3^3 - p) = (9 - p)(6 - 3).

Упростим:

21 - 27 + p = 3(9 - p).

Теперь решим уравнение относительно p:

21 - 27 + p = 27 - 3p, 4p = 27 - 21, 4p = 6, p = 6 / 4, p = 3/2.

Таким образом, значение параметра p должно быть равно 3/2, чтобы касательная к графику функции y = x^3 - px в точке x0 = 3 проходила через точку M(6, 21).