Question

Решите неравенство а) х^4-10x^2+9>=0 б) x^4-8>=7X^2

Answer 1

A)   (2x+4)/(x-7)>0  x≠7        --------------- -2-------------------7--------------------            +                             -                       +     x∈(-∞;-2)∪(7;∞)
b)    x-1/x+5≤0    x≠-5       ------------------- -5----------------------1--------------------                 +                          -                              +               -5<x≤1

Answer 2

Для решения данных неравенств, давайте начнем с каждого из них по очереди:

а) $x^4 - 10x^2 + 9 \geq 0$

Для начала, давайте заметим, что данное неравенство можно рассматривать как неравенство относительно $x^2$. Поэтому давайте введем замену переменных: $u = x^2$. Тогда неравенство примет вид:

$u^2 - 10u + 9 \geq 0$

Теперь найдем корни уравнения $u^2 - 10u + 9 = 0$. Для этого воспользуемся квадратным уравнением:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64$

$u_{1,2} = \frac{-(-10) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 8}{2} = 9, 1$

Таким образом, корни уравнения $u^2 - 10u + 9 = 0$ равны 9 и 1. Заметим, что эти корни делят числовую прямую на три интервала: $(- \infty, 1)$, $(1, 9)$ и $(9, +\infty)$.

Теперь, чтобы понять знак неравенства $u^2 - 10u + 9 \geq 0$, возьмем по одной точке из каждого интервала и подставим их в неравенство:

1. При $u = 0$: $0^2 - 10 \cdot 0 + 9 = 9$, это значение больше нуля.
2. При $u = 5$: $5^2 - 10 \cdot 5 + 9 = 25 - 50 + 9 = -16$, это значение меньше нуля.
3. При $u = 10$: $10^2 - 10 \cdot 10 + 9 = 100 - 100 + 9 = 9$, это значение больше нуля.

Таким образом, неравенство $u^2 - 10u + 9 \geq 0$ выполняется для интервалов $[1, 9]$ и $\{0, +\infty\}$. Вспомним, что $u = x^2$, и теперь найдем значения $x$:

$x^2 \in [1, 9]$

Это означает, что $x$ должен принимать значения на интервале $[-3, -1] \cup [1, 3]$.

б) $x^4 - 8 \geq 7x^2$

Также, подобно предыдущему неравенству, заметим, что данное неравенство можно рассматривать как неравенство относительно $x^2$. Поэтому давайте введем замену переменных: $v = x^2$. Тогда неравенство примет вид:

$v^2 - 8 \geq 7v$

Теперь перенесем все в левую часть:

$v^2 - 7v - 8 \geq 0$

Теперь найдем корни уравнения $v^2 - 7v - 8 = 0$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$

$v_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 9}{2} = 8, -1$

Таким образом, корни уравнения $v^2 - 7v - 8 = 0$ равны 8 и -1. Заметим, что эти корни делят числовую прямую на три интервала: $(- \infty, -1)$, $(-1, 8)$ и $(8, +\infty)$.

Теперь, чтобы понять знак неравенства $v^2 - 7v - 8 \geq 0$ 0 0