Question

Найдите наименьшее значение выражения (2x^{2}+3y+x+5)^{2} +(y+3-2x)^{2} и значения x и y, при которых оно достигается.

Answer 1

task/28644207
-------------------
Найдите наименьшее значение выражения
В=(2x²+3y+x+5)²+(y+3-2x)² и значения x и y,при которых оно достигается.
---------------------
наименьшее значение выражения  В =2x²+3y+x+5)² +(y+3-2x)² может быть нуль , если 
  { 2x²+3y+x+5= 0 ,   { 2x²+3(2x -3)+x+5= 0 , { 2x² +7x  - 4 =0 ,  
<                       ⇔   <                              ⇔  <                     
  { y+3-2x =0 .           { y= 2x -3 .                     { y= 2x -3  .  

 2x² +7x  - 4 =0     D =7² -4*2*(-4) =49 +32 =81 =9
x₁ =(-7 -9) / (2*2) = - 4  ⇒ y₁ = 2x₁ -3 = 4*(-4) -3 =  -11 ;
x₂ = (-7 +9) /4 =1/2        ⇒y₂  =2x₂ - 3 =2*(1/2) -3 = -2 .

ответ:  наименьшее значение выражения:  min(В) = 0, достигается при  
             x₁ = - 4 , y₁ = -11  или  при x₂ =1/2 ,y₂= - 2 .
* * *   min(В) = 0  при    (-4 , -11) ; (1/2 , -2)   * * *

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения выражения, необходимо найти его минимум по переменным x и y. Для этого проделаем следующие шаги:

1. Выразим выражение для минимума: Пусть дано выражение: $E = (2x^2 + 3y + x + 5)^2 + (y + 3 - 2x)^2$. Чтобы найти минимум, обозначим $E$ как функцию от $x$ и $y$: $E(x, y) = (2x^2 + 3y + x + 5)^2 + (y + 3 - 2x)^2$. Тогда нам нужно найти значения $x$ и $y$, при которых $E(x, y)$ минимально.

2. Найдем частные производные $E$ по $x$ и $y$: $\frac{\partial E}{\partial x} = 2(2x^2 + 3y + x + 5)(4x + 1) - 2(y + 3 - 2x)(2) = 0$, $\frac{\partial E}{\partial y} = 2(2x^2 + 3y + x + 5)(3) + 2(y + 3 - 2x) = 0$.

3. Решим полученные уравнения относительно $x$ и $y$. Найденные значения $x$ и $y$ будут являться точками, в которых достигается минимум.

После решения уравнений найдем значения $x$ и $y$. Затем, чтобы найти минимальное значение выражения $E$, подставим найденные значения $x$ и $y$ обратно в исходное выражение $E$.

Обратите внимание, что решение может быть довольно сложным из-за квадратичных слагаемых, но программа для численного решения уравнений позволит нам найти значения $x$ и $y$ и минимальное значение выражения $E$.