Question

1. Упростите выражение: а) 2х (х – 3) – 3х (х + 5); б) (а + 7) (а – 1) + (а – 3)2; в) 3 (у + 5)2 – 3у2. • 2. Разложите на множители: а) с2 – 16с; б) 3а2 – 6аb + 3b2. 3. Упростите выражение (За – а2)2 – а2 (а – 2) (а + 2) + 2а (7 + 3а2). 4. Разложите на множители: а) 81а4 – 1; б) у2 – х2 – 6х – 9. 5. Докажите, что выражение -а2 + 4а – 9 может принимать лишь отрицательные значения.

Answer 1

1.
2х(х-3)  - 3х(х+5) = 2х²  - 6х  - 3х²  - 15х = 
= - (3х² - 2х²)  - (15х + 6х) = - х² -  21х
можно вынести общий множитель:
=  - х(х + 21)

(а  - 1 ) - (а - 3)² = а - 1   - (а² - 2*а*3 + 3² ) = 
= а  - 1  - а² + 6а  - 9  =  - а²  + (а + 6а)  - (1+9) =
=  - а²  + 7а  - 10

3(у  - 5)² - 3у² = 3(у² - 10у  + 25)  - 3у²  = 
= 3у² - 30у +  75   - 3у²  =  - 30у  +  75  
общий множитель:
= - 15( 2у  - 5 )

2.
с²  - 16с  = с(с - 16)
3а² - 6аb +3b²  = 3(a² - 2ab + b²) = 3(a - b)²  = 3(a - b)(a - b)

3.
(3a - a²)²  -  a²(a - 2)(a + 2)  + 2a(7 +3a²) =
= ( (3a)²  - 2 * 3a *a²  + (a²)² )  -  a² (a²  - 2²)  + 14a  + 6a³ = 
= 9a²  - 6a³  + a⁴  - a⁴ + 4a²  + 14a  + 6a³ =
= (a⁴  - a⁴)  + (- 6a³  +6a³)  + (9a² + 4a²)  + 14a =
= 13a²  + 14a   =  а (13а + 14)

4.
81а⁴ -  1  = (9а²)  -  1² = (9а²  - 1)(9а² + 1) = ( (3а)²  - 1² ) (9а² + 1) =
= (3а - 1)(3а  + 1)(9а²  + 1)

5.
-а² + 4а  - 9  =  - (a²  - 4a  +  9) =  - ( a²  - 4a + 4  + 5)  = 
=  - (  (a²  - 2*a*2 + 2²)   +  5 )   =   - ( (a - 2)²   +  5 )

(a - 2)² ≥ 0   ⇒     (а - 2)²   + 5  > 0  ⇒  - ((а - 2)²   + 5) < 0

Answer 2

Давайте решим поставленные задачи по порядку:

1. Упростите выражения:

а) 2х (х – 3) – 3х (х + 5)

Раскроем скобки:

2х^2 - 6х - 3х^2 - 15х

Теперь объединим подобные слагаемые:

(2х^2 - 3х^2) + (-6х - 15х) = -х^2 - 21х

б) (а + 7) (а – 1) + (а – 3)^2

Раскроем первые скобки:

а^2 + 7а - а - 7 + (а – 3)^2

Упростим второе слагаемое:

(а – 3)^2 = (а – 3)(а – 3) = а^2 - 3а - 3а + 9 = а^2 - 6а + 9

Теперь объединим все слагаемые:

а^2 + 7а - а - 7 + а^2 - 6а + 9

Сгруппируем подобные слагаемые:

(а^2 + а^2) + (7а - а - 6а) + (-7 + 9) = 2а^2 + 0а + 2 = 2а^2 + 2

в) 3 (у + 5)^2 – 3у^2

Упростим выражение в скобках:

(у + 5)^2 = (у + 5)(у + 5) = у^2 + 5у + 5у + 25 = у^2 + 10у + 25

Теперь умножим на 3:

3(у^2 + 10у + 25) - 3у^2

Распределим 3 по слагаемым:

3у^2 + 30у + 75 - 3у^2

Теперь объединим подобные слагаемые:

(3у^2 - 3у^2) + 30у + 75 = 0у + 30у + 75 = 30у + 75

Ответы: а) -х^2 - 21х б) 2а^2 + 2 в) 30у + 75

2. Разложите на множители:

а) с^2 – 16с

В данном случае у нас есть общий множитель с, который можно вынести за скобки:

с(c - 16)

б) 3а^2 – 6аb + 3b^2

В данном случае, это квадрат тринома. Мы можем разложить его на множители следующим образом:

3а^2 - 6аb + 3b^2 = 3(a^2 - 2ab + b^2)

Заметим, что это является квадратом суммы (a - b)^2:

3(a - b)^2

Ответы: а) с(c - 16) б) 3(a - b)^2

3. Упростите выражение (За – а^2)^2 – а^2 (а – 2) (а + 2) + 2а (7 + 3а^2).

Для упрощения данного выражения, сначала разложим квадрат разности и квадрат суммы:

(За - а^2)^2 = (За - а^2)(За - а^2) = За^2 - а^2За - а^2За + а^4 = За^2 - 2а^3За + а^4

а^2 (а - 2) (а + 2) = а^2 (а^2 - 4) = а^4 - 4а^2

Теперь подставим оба выражения обратно в исходное:

(За – а^2)^2 – а^2 (а – 2) (а + 2) + 2а (7 + 3а^2) = (За^2 - 2а^3За + а^4) - (а^4 - 4а^2) + 2а(7 + 3а^2)

Теперь уберем скобки и объединим подобные слагаемые:

За^2 - 2а^3За + а^4 - а^4 + 4а^2 + 14а + 6а^3 = За^2 + 4а^2 + 14а + 6а^3 - 2а^3За

Ответ: За^2 + 4а^2 + 14а + 6а^3 - 2а^3За

4. Разложите на множители:

а) 81а^4 – 1

Данное выражение является разностью квадратов (81а^4 = (9а^2)^2 и 1 = 1^2). Разность квадратов может быть разложена на множители как (а^2 - b^2) = (а + b)(а - b).

Таким образом, разложим на множители:

81а^4 – 1 = (9а^2)^2 - 1^2 = (9а^2 + 1)(9а^2 - 1)

Заметим, что второе слагаемое также является разностью квадратов:

9а^2 - 1 = (3а)^2 - 1^2 = (3а + 1)(3а - 1)

Таким образом, окончательный ответ:

81а^4 – 1 = (9а^2 + 1)(3а + 1)(3а - 1)

б) у^2 – х^2 – 6х – 9

Данное выражение также является разностью квадратов (у^2 = (у)^2 и х^2 = (х)^2). Разность квадратов может быть разложена на множители как (а^2