Question

Сколько корней имеет уравнение: |3−x|+|2x+4|−|x+1|=2x+4 | 3 − x | + | 2 x + 4 | − | x + 1 | = 2 x + 4 ?

Answer 1

Если 2 x + 4>0, то получаем |3−x|=|x+1|. Решая, получаем х=1. 2+4>0. Верно.
Если 2 x + 4<0, то |3−x|−|x+1|=4x+8. Учитывая ОО, снимаем модули: 3-x+x+1=4x+8, откуда x=-1. -2+4>0. Не подходит.
Итого х=1. Один корень

Answer 2

Для того чтобы найти количество корней данного уравнения, нужно разбить его на несколько частей, исходя из различных интервалов значений переменной x. Затем, на каждом из этих интервалов, решить уравнение для x и проверить, удовлетворяют ли полученные значения условиям уравнения.

Уравнение имеет три модуля: |3-x|, |2x+4| и |x+1|, поэтому есть 8 различных комбинаций знаков для этих модулей:

1. 3-x >= 0; 2x+4 >= 0; x+1 >= 0
2. 3-x >= 0; 2x+4 >= 0; x+1 < 0
3. 3-x >= 0; 2x+4 < 0; x+1 >= 0
4. 3-x >= 0; 2x+4 < 0; x+1 < 0
5. 3-x < 0; 2x+4 >= 0; x+1 >= 0
6. 3-x < 0; 2x+4 >= 0; x+1 < 0
7. 3-x < 0; 2x+4 < 0; x+1 >= 0
8. 3-x < 0; 2x+4 < 0; x+1 < 0

Теперь решим уравнение для каждой из этих комбинаций:

1. 3-x + 2x+4 - (x+1) = 2x + 4 6 = 2x + 4 2x = 2 x = 1

2. 3-x + 2x+4 + (x+1) = 2x + 4 6 = 2x + 4 2x = 2 x = 1

3. 3-x - (2x+4) - (x+1) = 2x + 4 -6 = 2x + 4 2x = -10 x = -5

4. 3-x - (2x+4) + (x+1) = 2x + 4 -6 = 2x + 4 2x = -10 x = -5

5. (x-3) + 2x+4 - (x+1) = 2x + 4 2x = 0 x = 0

6. (x-3) + 2x+4 + (x+1) = 2x + 4 2x = 0 x = 0

7. (x-3) - (2x+4) - (x+1) = 2x + 4 -4x = 8 x = -2

8. (x-3) - (2x+4) + (x+1) = 2x + 4 -4x = 8 x = -2

Теперь проверим найденные значения x в исходном уравнении:

1. При x = 1: |3-1| + |21+4| - |1+1| = 21 + 4 |2| + |6| - |2| = 2 + 4 2 + 6 - 2 = 6

2. При x = -5: |3-(-5)| + |2*(-5)+4| - |(-5)+1| = 2*(-5) + 4 |8| + |-6| - |(-4)| = -6 + 4 8 + 6 - 4 = 10

3. При x = 0: |3-0| + |20+4| - |0+1| = 20 + 4 |3| + |4| - |1| = 4 3 + 4 - 1 = 6

4. При x = -2: |3-(-2)| + |2*(-2)+4| - |(-2)+1| = 2*(-2) + 4 |5| + |0| - |(-1)| = 0 5 + 0 - 1 = 4

Таким образом, уравнение имеет четыре корня: x = 1, x = -5, x = 0 и x = -2.