Question

Найдите общее решение дифференциального уравнения (x+2y)dx-(2x+y)dy=0

Answer 1

Решение на фотографии (нажимаете на нее, чтобы увеличить изображение)

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения (x + 2y)dx - (2x + y)dy = 0, мы можем использовать метод разделения переменных.

1. Разделим переменные, переместив все термины, содержащие dx, на одну сторону уравнения, а все термины, содержащие dy, на другую сторону:

(x + 2y)dx = (2x + y)dy

2. Теперь разделим обе части уравнения на (x + 2y) и dy:

dx / (2x + y) = dy / (x + 2y)

3. Проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫ dx / (2x + y) = ∫ dy / (x + 2y)

4. Для интегрирования левой и правой сторон уравнения, нужно воспользоваться заменой переменных. Для этого введем новую переменную u = 2x + y:

du/dx = 2 + dy/dx

Тогда, dx = du / (2 + dy/dx).

5. Подставим dx в интеграл левой стороны:

∫ du / (2 + dy/dx) = ∫ dy / (x + 2y)

6. Теперь заменим dy/dx в числителе интеграла на выражение, которое получим из начального уравнения:

dy/dx = (x + 2y) / (2x + y)

7. Подставим это выражение в интеграл:

∫ du / (2 + (x + 2y) / (2x + y)) = ∫ dy / (x + 2y)

8. Упростим дробь в числителе:

∫ du / (2 + (x + 2y) / (2x + y)) = ∫ dy / (x + 2y)

∫ du / (2(2x + y) + (x + 2y)) = ∫ dy / (x + 2y)

∫ du / (3x + 4y) = ∫ dy / (x + 2y)

9. Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

(1/3) ∫ du = ∫ dy

(1/3) u = y + C1, где С1 - постоянная интегрирования.

10. Теперь вернемся к переменной x и заменим обратно u на 2x + y:

(1/3)(2x + y) = y + C1

11. Решим уравнение относительно y:

2x + y = 3(y + C1)

2x + y = 3y + 3C1

y - 3y = 3C1 - 2x

-2y = -2x + 3C1

y = (2x - 3C1) / 2

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения (x + 2y)dx - (2x + y)dy = 0 имеет вид:

y = (2x - 3C1) / 2, где C1 - произвольная постоянная.