Question

Известно,что х+у=а ,ху=в чему равно значение х³+у³

Answer 1

X³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²)

(x + y)² = x² + 2xy + y²
a² = x² + y²  + 2b
x² + y² = a² - 2b

x³ + y³ = a(a² - 2b - b) = a(a² - 3b)

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся методом замены переменных.

Пусть х и у — корни уравнения:

х + у = а ...........(1) х * у = в ...........(2)

Давайте выразим у из уравнения (1):

у = а - х

Теперь заменим у в уравнении (2):

х * (а - х) = в

Упростим уравнение:

ха - х² = в

Теперь запишем х³ + у³ через замену переменных:

х³ + у³ = х³ + (а - х)³

Раскроем скобки в последнем уравнении:

х³ + у³ = х³ + (а³ - 3а²х + 3ах² - х³)

Заменим х² на в/а из уравнения (2):

х³ + у³ = х³ + (а³ - 3ав/а + 3х*в/а - х³)

Сократим а во втором члене:

х³ + у³ = х³ + (а² - 3в/а + 3х*в/а - х³)

Теперь объединим х³ и -х³ в первом члене:

х³ + у³ = (х³ - х³) + (а² - 3в/а + 3х*в/а)

Заметим, что х³ - х³ равно нулю:

х³ + у³ = а² - 3в/а + 3х*в/а

Теперь, используя уравнение (2) еще раз, заменим х*у на в:

х³ + у³ = а² - 3в/а + 3 * в/а

Теперь, заменим х*у на в из уравнения (2):

х³ + у³ = а² - 3в/а + 3в/а

Теперь объединим второй и третий члены:

х³ + у³ = а² + 3в/а - 3в/а

Сократим в/а и -в/а:

х³ + у³ = а²

Таким образом, значение выражения х³ + у³ равно а².