Question

Площадь прямоугольника 120 см², его диагональ 17 см. Найти все стороны.

Answer 1

Пусть стороны прямоугольника равны x, y. Тогда по условию задачи x*y=120. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами прямоугольника и его диагональю, получаем, что x^2+y^2=17^2. Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными.
  x*y=120
x^2+y^2=17^2
Из первого уравнения x=120/y, подставляем во второе уравнение, получаем
(120/y)^2+y^2= 289,
y^4-289y^2+14400=0 биквадратное уравнение
y^2=t, t^2-289t+14400=0
t1= 225, t2=64
тогда   
1)y^2=t1             2)y^2=t2
   y^2=225            y^2=64     
  y1=15                 y3=8
y2=-15                  y4=-8
очевидно, что y2 и y4 не удовлетворяют условие задачи (стороны не могут быть отрицательные)
Тогда x1=120/y1= 120/15=8
x3=120/y3=120/8=15
Ответ: 15 см и 8 см или 8 см и 15 см. Я очень надеюсь,что понятно и доступно все написано

Answer 2

Для нахождения сторон прямоугольника, зная его площадь и диагональ, нужно использовать систему уравнений, используя основные формулы для прямоугольника.

Пусть длина прямоугольника будет обозначена как "а", а ширина - как "b".

У нас есть два уравнения:

1. Площадь прямоугольника: a * b = 120 см²
2. Диагональ прямоугольника: a² + b² = 17² (так как прямоугольник - это прямоугольный треугольник с диагональю в качестве гипотенузы)

Теперь мы можем решить эту систему уравнений.

Способ 1: Подставим одно уравнение в другое:

a * b = 120, a = 120 / b.

Теперь подставим значение "a" в уравнение с диагональю:

(120 / b)² + b² = 17².

Раскроем скобки и упростим уравнение:

(14400 / b²) + b² = 289.

Теперь умножим обе части уравнения на b²:

14400 + b⁴ = 289b².

Теперь приведем уравнение в квадратичную форму:

b⁴ - 289b² + 14400 = 0.

Способ 2: Используем метод замены переменных:

Пусть x = b².

Тогда уравнение становится:

x² - 289x + 14400 = 0.

Решим это квадратное уравнение.

Факторизуем, чтобы решить:

(x - 144)(x - 100) = 0.

Таким образом, получаем два значения для "x":

x₁ = 144, x₂ = 100.

Теперь найдем значения "b":

b₁ = √(x₁) = √(144) = 12 см, b₂ = √(x₂) = √(100) = 10 см.

Теперь найдем значения "a" с помощью уравнения a = 120 / b:

a₁ = 120 / 12 = 10 см, a₂ = 120 / 10 = 12 см.

Таким образом, возможны две комбинации сторон прямоугольника: 10 см х 12 см и 12 см х 10 см.