Question

Пожалуйста, помогите решить неравенство: 1) x (1-x) > 0 2) 1-x > 0 3) (1-x)^2 > 0 4) x (1-x) < 0

Answer 1

1) x>x^2
2)1>x
3)1>x^2
4)x<x^2

Answer 2

Давайте решим данные неравенства по очереди:

1. x(1-x) > 0

Для начала, найдем корни уравнения x(1-x) = 0:

x(1-x) = 0 x = 0 или 1-x = 0 x = 0 или x = 1

Теперь разобьем числовую прямую на интервалы, используя эти корни:

1. x < 0
2. 0 < x < 1
3. x > 1

Теперь выберем по одной точке из каждого интервала и проверим неравенство x(1-x) > 0 в этих точках:

1. При x = -1: (-1)(1-(-1)) = (-1)(2) = -2 < 0 (неравенство не выполняется)
2. При x = 0.5: (0.5)(1-0.5) = (0.5)(0.5) = 0.25 > 0 (неравенство выполняется)
3. При x = 2: (2)(1-2) = (2)(-1) = -2 < 0 (неравенство не выполняется)

Таким образом, решением неравенства x(1-x) > 0 является интервал (0, 1).

2. 1-x > 0

Решим это неравенство:

1-x > 0 -x > -1 x < 1

Решением неравенства 1-x > 0 является интервал (-∞, 1).

3. (1-x)^2 > 0

Заметим, что квадрат любого числа (в данном случае (1-x))^2 всегда неотрицателен, за исключением случая, когда это число равно нулю.

Таким образом, решением неравенства (1-x)^2 > 0 является весь интервал (-∞, +∞), за исключением точки x = 1 (поскольку при x = 1 получается (1-1)^2 = 0, что не удовлетворяет неравенству).

4. x(1-x) < 0

Повторим процедуру, которую мы использовали в первом неравенстве:

1. x < 0
2. 0 < x < 1
3. x > 1

Теперь выберем по одной точке из каждого интервала и проверим неравенство x(1-x) < 0 в этих точках:

1. При x = -1: (-1)(1-(-1)) = (-1)(2) = -2 < 0 (неравенство выполняется)
2. При x = 0.5: (0.5)(1-0.5) = (0.5)(0.5) = 0.25 > 0 (неравенство не выполняется)
3. При x = 2: (2)(1-2) = (2)(-1) = -2 < 0 (неравенство выполняется)

Таким образом, решением неравенства x(1-x) < 0 является объединение интервалов (-∞, 0) и (1, +∞).