Question

Найти все значения b, при каждом из которых система уравнений                                    bx+y= 1      4x - 2y=b имеет бесконечно много решений

Answer 1

$\left \{ {{a_1x+b_1y=c_1} \atop {a_2x+b_2y=c_2}} \right.$
Система имеет бесконечно много решений при:
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$

$\left \{ {{bx+y=1} \atop {4x-2y=b}} \right.$
$\frac{b}{4}=\frac{1}{-2}=\frac{1}{b}$
При b=-2, данная система уравнений имеет бесконечно много решений.

Answer 2

Для того чтобы система уравнений имела бесконечно много решений, уравнения должны быть линейно зависимыми, т.е. одно из уравнений должно быть линейной комбинацией другого уравнения.

Давайте рассмотрим систему уравнений:

1. bx + y = 1
2. 4x - 2y = b

Для того чтобы уравнения были линейно зависимыми, их коэффициенты при переменных должны быть пропорциональны. Мы можем убедиться в этом, поделив уравнения друг на друга:

(1) / (2) => (bx + y) / (4x - 2y) = 1 / b

Теперь упростим:

(bx + y) / (4x - 2y) = 1 / b

Теперь избавимся от дроби, умножив обе стороны на b(4x - 2y):

b(bx + y) = 4x - 2y

Раскроем скобки:

b^2x + by = 4x - 2y

Перенесем все члены с переменными на одну сторону:

b^2x - 4x + by + 2y = 0

Факторизуем по x и у:

x(b^2 - 4) + y(b + 2) = 0

Теперь, для того чтобы эта система имела бесконечно много решений, коэффициенты при x и y должны быть равны нулю:

1. b^2 - 4 = 0

2. b + 2 = 0

3. b^2 - 4 = 0

Решим это уравнение:

b^2 = 4

b = ±√4

b = ±2

2. b + 2 = 0

Решим это уравнение:

b = -2

Таким образом, система уравнений будет иметь бесконечно много решений при b = 2 и b = -2.