Question

Сумма второго и четвёртого члена геометрической прогрессии равна 340, а частное отделения восьмого члена на шестой равно 4. Найдите первый член прогрессии.

Answer 1

$b_2+b_4=340\\\\ \frac{b_8}{b_6}=4\\ -----------------\\ b_1q+b_1q^3=340\\\\ \frac{b_1q^7}{b_1q^5}=4\\ -----------------\\ b_1q(1+q^2)=340\\\\ q^2=4\\ -----------------\\ \left \{ {{b_1*(\pm2)*(1+4)=340} \atop {q=\pm2}} \right. \\\\ -----------------\\ \left \{ {{b_1=\frac{340}{10}=34} \atop {q=2}} \right. \ or\ \left \{ {{b_1=-\frac{340}{10}=-34} \atop {q=-2}} \right.$

Ответ:  $34$ или  $-34$

Answer 2

Пусть первый член геометрической прогрессии равен а, а знаменатель прогрессии равен q (поскольку это геометрическая прогрессия).

Тогда второй член прогрессии будет равен: а * q, четвёртый член прогрессии будет равен: а * q^3, шестой член прогрессии будет равен: а * q^5, восьмой член прогрессии будет равен: а * q^7.

Условие гласит, что сумма второго и четвёртого члена равна 340: а * q + а * q^3 = 340.

Также, условие гласит, что частное восьмого члена на шестой равно 4: (а * q^7) / (а * q^5) = 4.

Теперь, чтобы найти первый член прогрессии (а), можно использовать систему уравнений:

1. а * q + а * q^3 = 340,
2. (а * q^7) / (а * q^5) = 4.

Сократим оба уравнения на а:

1. q + q^3 = 340 / а,
2. q^2 = 4.

Теперь найдем q из второго уравнения:

q^2 = 4, q = ±2.

Теперь подставим q в первое уравнение и найдем а:

1. q + q^3 = 340 / а,

a) Если q = 2:

2 + 2^3 = 340 / а, 2 + 8 = 340 / а, 10 = 340 / а, а = 340 / 10, а = 34.

b) Если q = -2:

-2 + (-2)^3 = 340 / а, -2 - 8 = 340 / а, -10 = 340 / а, а = 340 / (-10), а = -34.

Таким образом, первый член геометрической прогрессии может быть равен 34 или -34.