Question

Найти корни уравнения 2cos²x+3sinx=0, удовлетворяющие условию: (x²-3x+2)/(x²-7x+12)<0

Answer 1

Смотри полученное решение

Answer 2

Для решения данной задачи, начнем с уравнения:

2cos²x + 3sinx = 0

Мы знаем тригонометрическую тождества cos²x + sin²x = 1, поэтому можем переписать уравнение:

2(1 - sin²x) + 3sinx = 0

Раскроем скобки:

2 - 2sin²x + 3sinx = 0

Теперь представим уравнение в виде квадратного:

2sin²x - 3sinx + 2 = 0

Чтобы решить это квадратное уравнение, воспользуемся дискриминантом (D):

D = b² - 4ac где a = 2, b = -3, c = 2

D = (-3)² - 4 * 2 * 2 D = 9 - 16 D = -7

Так как дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, корни уравнения не удовлетворяют условию.

Теперь рассмотрим неравенство:

(x² - 3x + 2) / (x² - 7x + 12) < 0

Для определения знаков в неравенстве, найдем точки, где числитель и знаменатель обращаются в ноль:

Для числителя: x² - 3x + 2 = 0

Решим квадратное уравнение:

(x - 2)(x - 1) = 0

Таким образом, у нас две точки: x = 2 и x = 1.

Теперь для знаменателя: x² - 7x + 12 = 0

Решим квадратное уравнение:

(x - 3)(x - 4) = 0

Таким образом, у нас две точки: x = 3 и x = 4.

Теперь построим знаки на числовой прямой, чтобы определить интервалы, где выполняется неравенство:

diffCopy code
--|--|--|--|--
1  2  3  4

Мы видим, что числитель и знаменатель имеют разные знаки на интервалах:

1. (-∞, 1): числитель и знаменатель положительные, отношение положительное.
2. (1, 2): числитель положительный, знаменатель отрицательный, отношение отрицательное.
3. (2, 3): числитель и знаменатель положительные, отношение положительное.
4. (3, 4): числитель положительный, знаменатель отрицательный, отношение отрицательное.
5. (4, +∞): числитель и знаменатель положительные, отношение положительное.

Таким образом, решением неравенства является интервал: (1, 2) объединенный с интервалом (3, 4).

Итак, корни уравнения 2cos²x + 3sinx = 0, удовлетворяющие условию (x² - 3x + 2)/(x² - 7x + 12) < 0, находятся в интервалах (1, 2) и (3, 4).