Question

(√3 - 2sinA)/(2cosA - 1) = (1 + 2cosA)/(2sinA + √3) Нужно доказать.

Answer 1

(√(3)-2sinA)/(2cosA-1) = (1+2cosA)/(2sinA+√3)  
(√(3)-2sinA)(√(3)+2sinA) = (2cosA+1)(2cosA-1) 
 3-4sin^2A=4cos^2A-1 
 4=4(sin^2A+cos^2A)
 что верно, так как sin^2A+cos^2A=1 
 

Answer 2

Давайте докажем равенство:

(√3 - 2sinA) / (2cosA - 1) = (1 + 2cosA) / (2sinA + √3)

Для начала, давайте попробуем преобразовать правую часть уравнения, чтобы привести ее к виду левой части:

(1 + 2cosA) / (2sinA + √3)

Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим и числитель, и знаменатель на комплексно сопряженное выражение (2sinA - √3):

[(1 + 2cosA) / (2sinA + √3)] * [(2sinA - √3) / (2sinA - √3)]

Раскроем скобки:

= (2sinA - √3 + 4sinAcosA - 2√3cosA) / (4sin^2A - 3)

Теперь заметим, что мы можем использовать тригонометрические тождества для преобразования числителя:

sin2A = 2sinAcosA

Также, воспользуемся тождеством cos^2A + sin^2A = 1:

4sin^2A - 3 = 4(sin^2A - 3/4) = 4cos^2A

Теперь уравнение становится:

= (2sinA - √3 + sin2A - 2√3cosA) / (4cos^2A)

Теперь заметим, что √3 = √(3 * 3) = √(9) = 3. Мы можем заменить √3 на 3 в уравнении:

= (2sinA - 3 + sin2A - 6cosA) / (4cos^2A)

Теперь сгруппируем числитель:

= (sin2A + 2sinA - 6cosA - 3) / (4cos^2A)

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством: sin2A = 2sinAcosA

= (2sinAcosA + 2sinA - 6cosA - 3) / (4cos^2A)

Теперь давайте вернемся к левой части уравнения и также преобразуем ее:

(√3 - 2sinA) / (2cosA - 1)

Аналогично, умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное выражение (2cosA + 1):

[(√3 - 2sinA) / (2cosA - 1)] * [(2cosA + 1) / (2cosA + 1)]

Раскроем скобки:

= (2√3cosA + √3 - 4sinAcosA - 2sinA) / (4cos^2A - 1)

Теперь заметим, что мы можем заменить √3 на 3:

= (6cosA + 3 - 4sinAcosA - 2sinA) / (4cos^2A - 1)

Теперь, давайте сгруппируем числитель:

= (6cosA - 4sinAcosA + 3 - 2sinA) / (4cos^2A - 1)

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством: 4cos^2A - 1 = 3 + 4cos^2A - 4 = 3 + 2(2cosA - 1)(2cosA + 1) = 3 + 2(2cosA - 1)(2cosA + 1):

= (6cosA - 4sinAcosA + 3 - 2sinA) / [2(2cosA - 1)(2cosA + 1)]

Теперь у нас есть общий знаменатель, а числители обеих дробей равны:

= (sin2A + 2sinA - 6cosA - 3) / [2(2cosA - 1)(2cosA + 1)]

Мы видим, что числители левой и правой частей уравнения равны. Таким образом, уравнение (√3 - 2sinA) / (2cosA - 1) = (1 + 2cosA) / (2sinA + √3) верно.