Question

Решить дифференциальное уравнение 2ydx + (y^2 - 6x)dy = 0

Answer 1

Смотри приложенное решение

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения можно воспользоваться методом разделяющихся переменных. Для этого перепишем уравнение в следующем виде:

2ydx + (y^2 - 6x)dy = 0

Теперь разделим переменные dx и dy:

2ydx = (6x - y^2)dy

Теперь разделим обе части уравнения на (6x - y^2) и на 2y:

dx/(6x - y^2) = dy/2y

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

∫(dx/(6x - y^2)) = ∫(dy/2y)

Для интеграла ∫(dx/(6x - y^2)) можно сделать замену переменных. Пусть u = 6x - y^2, тогда du = 6dx и dx = du/6. Подставим это в интеграл:

∫(du/6u) = ∫(dy/2y)

(1/6)∫(du/u) = (1/2)∫(dy/y)

Теперь проинтегрируем обе стороны:

(1/6)ln|u| + C1 = (1/2)ln|y| + C2

где C1 и C2 - произвольные постоянные интегрирования.

Теперь перепишем логарифмы в виде степеней:

ln|u|^(1/6) + C1 = ln|y|^(1/2) + C2

Постоянные интегрирования обозначим как C:

ln|u|^(1/6) = ln|y|^(1/2) + C

Теперь возведем обе стороны в экспоненту:

|u|^(1/6) = e^(ln|y|^(1/2) + C)

|u|^(1/6) = e^(ln|y|^(1/2)) * e^C

|u|^(1/6) = |y|^(1/2) * e^C

Теперь избавимся от модуля, заметив, что u = 6x - y^2, а также от постоянной e^C, объединив её с другой постоянной С:

u^(1/6) = ± y^(1/2) * C1, где C1 = e^C

Теперь найдем значение константы C1, заметим, что у нас уже была информация о том, что y(0) = 4. Подставим это условие в уравнение:

6*0 - 4^2 = C1 * 4^(1/2)

-16 = 2 * C1

C1 = -8

Теперь окончательно решим уравнение:

u^(1/6) = ± y^(1/2) * (-8)

Так как u = 6x - y^2, то:

(6x - y^2)^(1/6) = ± y^(1/2) * (-8)

Теперь возведем обе стороны уравнения в шестую степень, чтобы избавиться от корня:

6x - y^2 = (± y^(1/2) * (-8))^6

6x - y^2 = 64 * y^3 (так как (-8)^6 = 64)

Теперь перенесем все члены с y в одну сторону, а все остальные члены в другую:

y^2 + 64 * y^3 - 6x = 0

Это окончательное уравнение, которое является общим решением данного дифференциального уравнения.