Question

Помогите пожалуйста! докажите неравенство n2-2nv+2v2+2v+2>0

Answer 1

(a+2)/a+(a+2)/2≥4
1+2/a+a/2+1≥4
2+(4+a²)/2a≥2+2
нужно сравнить (4+a²)/2a и 2
(4+a²)/2a-2=(4+a²-4a)/2a=(a-2)²/2a
(a-2)²≥0  и 2a>0 ⇒(a-2)²/2a≥0⇒ (a-2)²/2a≥2
значит (a+2)/a+(a+2)/2≥4         ВРОДИ ТАК

Answer 2

Для того чтобы доказать неравенство $n^2 - 2nv + 2v^2 + 2v + 2 > 0$, где $n$ и $v$ являются действительными числами, давайте попробуем рассмотреть различные случаи.

Предположим, что $v$ фиксировано. Тогда давайте рассмотрим это выражение как квадратное уравнение относительно переменной $n$:

$n^2 - 2nv + 2v^2 + 2v + 2$

Дискриминант квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равен $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае $a = 1$, $b = -2v$ и $c = 2v^2 + 2v + 2$.

$D = (-2v)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2v^2 + 2v + 2) = 4v^2 - 8v^2 - 8v - 8 = -4v^2 - 8v - 8$.

Теперь нам нужно выяснить, когда дискриминант $D$ отрицателен, чтобы квадратное уравнение не имело действительных корней, и тогда выражение $n^2 - 2nv + 2v^2 + 2v + 2$ будет всегда положительным для любого значения $n$.

1. Если $D < 0$, то неравенство $n^2 - 2nv + 2v^2 + 2v + 2 > 0$ верно для всех действительных $n$.

Так как $D = -4v^2 - 8v - 8$, рассмотрим условие $D < 0$:

$-4v^2 - 8v - 8 < 0$.

Делим обе части на -4 и меняем знак неравенства:

$v^2 + 2v + 2 > 0$.

Теперь давайте рассмотрим дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Так как $D < 0$, это означает, что неравенство $v^2 + 2v + 2 > 0$ верно для всех действительных $v$.

Таким образом, исходное неравенство $n^2 - 2nv + 2v^2 + 2v + 2 > 0$ верно для всех действительных чисел $n$ и $v$.