Question

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведены медианы AM и BN. Найдите AB, если AM=19, BN=22.

Answer 1

ΔАВС:  ∠С=90° ,  АМ и ВN - медианы  ⇒  ВМ=МС и AN=NC ,
АМ=19 ,  BN=22 /  Найти: АВ.
Обозначим ВМ=МС=а  ,  AN=NC=b .
Применим теорему Пифагора для ΔАСМ и ΔBCN:

$\left \{ {{a^2+(2b)^2=19^2} \atop {(2a)^2+b^2=22^2}} \right. \; \left \{ {{a^2+4b^2=361} \atop {4a^2+b^2=484}} \right.\; \left \{ {{a^2=361-4b^2} \atop {4(361-4b^2)+b^2=484}} \right.\; \left \{ {{a^2=361-4b^2} \atop {1444-15b^2=484}} \right.\\\\ \left \{ {{a^2=361-4b^2} \atop {15b^2=960}} \right. \; \left \{ {{a^2=105} \atop {b^2=64}} \right. \; \left \{ {{a=\sqrt{105}} \atop {b=8}} \right.$

$AC=2b=16\; ,\; \; BC=2\sqrt{105}\\\\AB^2=AC^2+BC^2=256+4\cdot 105=676\\\\AB=26$

Answer 2

Для решения задачи нам понадобится использовать теорему о медиане в прямоугольном треугольнике, которая гласит: медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине длины гипотенузы.

Обозначим длину гипотенузы треугольника ABC через c. Тогда медианы AM и BN равны половине гипотенузы:

AM = BN = c / 2

Также нам дано, что AM = 19 и BN = 22. Мы можем записать два уравнения:

1. AM = c / 2 = 19
2. BN = c / 2 = 22

Теперь решим эти уравнения:

1. c / 2 = 19 Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от деления на 2: c = 19 * 2 c = 38

2. c / 2 = 22 Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от деления на 2: c = 22 * 2 c = 44

Теперь у нас есть два значения c: 38 и 44. Однако, у нас есть прямоугольный треугольник, и гипотенуза всегда длиннее, чем каждая из медиан. Поэтому наше правильное значение - это минимальное значение c, то есть c = 38.

Таким образом, длина гипотенузы AB равна 38.