Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2+x-2, y=2x.

Answer 1

Найду точки пересечения графиков
x^2+x-2=2x; x^2-x-2=0 ;D=9; x1=-1; x2=2
точки пересечения , а значит и интегрирования х=-1 и х=2
s=∫(2x-(x^2+x-2))dx =
пределы по х от -1 до 2
=∫(x-x^2+2)dx=x^2/2-x^3/3+2x=
=2-8/3+4-(1/2-1/3-2)=5 1/6

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми, нам необходимо определить точки их пересечения, а затем вычислить интеграл разности функций по оси x.

Первым шагом найдем точки пересечения двух кривых, приравняв функции друг другу:

y = x^2 + x - 2 y = 2x

Теперь приравняем два выражения:

x^2 + x - 2 = 2x

Перенесем все в одну сторону:

x^2 - x - 2 = 0

Теперь решим это уравнение, используя квадратное уравнение или факторизацию:

(x - 2)(x + 1) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 2 и x = -1.

Теперь вычислим площадь между двумя кривыми, интегрируя разность функций по оси x на интервале [-1, 2]:

Площадь = ∫[от -1 до 2] (y_верхней_кривой - y_нижней_кривой) dx

Поскольку y = 2x является верхней кривой, а y = x^2 + x - 2 - нижней, получаем:

Площадь = ∫[-1 до 2] (2x - (x^2 + x - 2)) dx

Теперь проинтегрируем выражение:

Площадь = ∫[-1 до 2] (2x - x^2 - x + 2) dx

Площадь = [x^2 - (x^3/3) - (x^2/2) + 2x] от -1 до 2

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

Площадь = [(2)^2 - ((2)^3/3) - ((2)^2/2) + 2(2)] - [((-1)^2 - ((-1)^3/3) - ((-1)^2/2) + 2(-1))]

Площадь = [4 - (8/3) - 2 + 4] - [1 - (-1/3) - (1/2) - 2]

Площадь = 6.6667

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 + x - 2 и y = 2x на интервале [-1, 2], составляет приблизительно 6.67 квадратных единиц (округлено до четырех знаков после запятой).