Question

Докажите, что для любого натурального n 3 • 9^n + 7 • 7^2n кратно 10

Answer 1

1) База n=1  3*9+7*7*7=370 - кратне 10
2)Допустим это выполняется при n докажем что оно выполняется при n+1
3*9^(n+1)+7*7^(2*n+2)=3*9*9^(n)+7*49*7^(2*n)=9*(3*9^n+7*7^(2*n))+40*7*7^(2*n)
9*(3*9^n+7*7^(2*n))%10=0 из предположения
40*7*7^(2*n)%10=0 поскольку 40%10=0

Answer 2

Для доказательства того, что выражение 3 • 9^n + 7 • 7^2n кратно 10 для любого натурального n, давайте воспользуемся методом математической индукции.

1. Базовый шаг: При n = 1, выражение принимает значение: 3 • 9^1 + 7 • 7^2 • 1 = 3 • 9 + 7 • 49 = 27 + 343 = 370. 370 является кратным 10, так как 10 умножений на 37 дают это число.

2. Предположение индукции: Предположим, что для некоторого натурального k выражение 3 • 9^k + 7 • 7^2k кратно 10.

3. Шаг индукции: Теперь докажем, что выражение 3 • 9^(k+1) + 7 • 7^2(k+1) также кратно 10. Раскроем скобки: 3 • 9^(k+1) + 7 • 7^2(k+1) = 3 • 9^k • 9 + 7 • 7^2k • 7^2

Теперь используем предположение индукции: 3 • 9^k • 9 + 7 • 7^2k • 7^2 = 3 • (3 • 9^k) + 7 • (49 • 7^k)

Мы знаем, что (3 • 9^k) и (49 • 7^k) кратны 10 (по предположению индукции), так как они являются суммами, которые включают множители 10. Тогда 3 • (3 • 9^k) и 7 • (49 • 7^k) также кратны 10.

Таким образом, мы получили, что 3 • 9^(k+1) + 7 • 7^2(k+1) является суммой двух чисел, кратных 10, и поэтому само выражение кратно 10.

Итак, мы успешно выполнили базовый шаг и шаг индукции, что доказывает, что для любого натурального n выражение 3 • 9^n + 7 • 7^2n кратно 10.