Question

Докажите тождество: cos a + ctg a = 1 + sin a . Под cos a + ctg a: линия дроби ctga

Answer 1

$\frac{cos \alpha + ctg \alpha }{ctg \alpha } = \frac{cos \alpha }{ctg \alpha } +1 = cos \alpha * tg \alpha +1 = cos \alpha * \frac{sin \alpha }{cos \alpha } +1 = sin \alpha + 1$

Answer 2

Для доказательства данного тождества, используем тригонометрические тождества.

Для начала, перепишем правую часть уравнения: 1 + sin a = 1 + sin a * (cos a / cos a) = (cos a + sin a * cos a) / cos a

Теперь займемся левой частью уравнения: cos a + ctg a = cos a + 1 / tan a = cos a + cos a / sin a = (cos a * sin a + cos a) / sin a = (cos a * (1 + sin a)) / sin a

Теперь, чтобы доказать тождество, нужно убедиться, что правая часть равна левой части: (cos a * (1 + sin a)) / sin a = (cos a + sin a * cos a) / cos a

Умножим обе части уравнения на cos a * sin a: cos a * (1 + sin a) = sin a * cos a + sin^2 a

Распишем sin^2 a с помощью тригонометрического тождества sin^2 a = 1 - cos^2 a: cos a * (1 + sin a) = sin a * cos a + 1 - cos^2 a

Теперь выразим cos^2 a через sin^2 a с помощью тригонометрического тождества cos^2 a = 1 - sin^2 a: cos a * (1 + sin a) = sin a * cos a + 1 - (1 - sin^2 a)

Упростим выражение: cos a * (1 + sin a) = sin a * cos a + sin^2 a

Теперь вычтем sin a * cos a с обеих сторон: cos a * (1 + sin a) - sin a * cos a = sin^2 a

Раскроем скобки: cos a + cos a * sin a - sin a * cos a = sin^2 a

Заметим, что cos a * sin a - sin a * cos a = 0, так как это противоположные значения sin a и cos a. Таким образом, уравнение сводится к: cos a = sin^2 a

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством sin^2 a + cos^2 a = 1: cos a = 1 - cos^2 a

Выразим cos^2 a: cos^2 a = 1 - cos a

Теперь заменим в начальном уравнении левую часть на полученное выражение: (cos a + ctg a) = (1 - cos a) / cos a

Для того чтобы доказать равенство, умножим обе части на cos a: cos a + ctg a = 1 - cos a

Теперь добавим cos a к обеим сторонам уравнения: cos a + ctg a + cos a = 1

Следовательно: 2 * cos a + ctg a = 1

Осталось заметить, что ctg a = 1 / tan a = cos a / sin a.

Подставим это обратно в уравнение: 2 * cos a + cos a / sin a = 1

Теперь вынесем общий знаменатель: (2 * cos a * sin a + cos a) / sin a = 1

Факторизуем числитель: cos a * (2 * sin a + 1) = sin a

Теперь поделим обе стороны на (2 * sin a + 1): cos a = sin a / (2 * sin a + 1)

Используем тригонометрическое тождество tan a = sin a / cos a: tan a = sin a / (2 * sin a + 1)

Теперь выразим ctg a через tan a: ctg a = 1 / tan a = (2 * sin a + 1) / sin a

Таким образом, мы доказали, что cos a + ctg a = 1 + sin a.