Question

Решите неравенство 3х^2+2х-1 больше 0

Answer 1

$3x^2+2x-1 > 0 \\ D=4+12=16 \\ x_1=\frac{-2-4}{6}=-1 \\ x_2=\frac{-2+4}{6}=\frac{1}{3} \\ 3(x+1)(x-\frac{1}{3}) > 0$

---(+)--(○-1)--(-)----(○1/3)----(+)--->

$x \in (-\infty;-1)\cup (\frac{1}{3};+\infty)$

Answer 2

Для решения неравенства $3x^2 + 2x - 1 > 0$, мы должны найти интервалы значений переменной $x$, для которых это неравенство выполняется. Для этого можно использовать методы факторизации или графическое представление. Давайте воспользуемся методом графического представления:

1. Нарисуем график функции $f(x) = 3x^2 + 2x - 1$.
2. Найдем точки, где график пересекает ось $x$ (т.е. когда $f(x) = 0$).
3. Анализируем интервалы между этими точками для определения знака функции $f(x)$ и, следовательно, решения неравенства $f(x) > 0$.

Итак, начнем с построения графика:

1. Функция: $f(x) = 3x^2 + 2x - 1$.

Для нахождения точек пересечения с осью $x$ решим уравнение $f(x) = 0$:

$3x^2 + 2x - 1 = 0$

Мы можем решить это уравнение, используя квадратное уравнение или факторизацию. Однако, здесь у нас есть нецелочисленные корни. Поэтому воспользуемся формулой дискриминанта $D$:

$D = b^2 - 4ac$

где $a = 3$, $b = 2$, и $c = -1$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$

Так как $D > 0$, у нас есть два различных корня:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 4}{6}$

$x_1 = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$ $x_2 = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Теперь мы имеем две точки пересечения с осью $x$: $x = 1$ и $x = -\frac{1}{3}$.

2. Найдем интервалы знаков между этими точками:

Выберем тестовые значения в каждом из трех интервалов: $x = 0$, $x = \frac{1}{2}$ и $x = -1$.

a) Для $x = 0$:

$f(0) = 3 \cdot 0^2 + 2 \cdot 0 - 1 = -1$ $f(0) < 0$.

b) Для $x = \frac{1}{2}$:

$f\left(\frac{1}{2}\right) = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = \frac{3}{4} + 1 - 1 = \frac{3}{4}$ $f\left(\frac{1}{2}\right) > 0$.

c) Для $x = -1$:

$f(-1) = 3 \cdot (-1)^2 + 2 \cdot (-1) - 1 = 3 - 2 - 1 = 0$