Question

Найдите критические точки функции а)y=4-2x+7x² б)y=1+x-x²

Answer 1

$y=4-2x+7x^2 \\ y'=-2+14x \\ \\ 14x=2 \\ x= \frac{1}{7}$

$y=1+x-x^2 \\ y'=1-2x \\ 2x=1 \\ x= \frac{1}{2}$

Answer 2

Чтобы найти критические точки функции, нужно найти значения переменных, при которых производная функции равна нулю или не существует. Критические точки могут быть экстремумами функции или точками перегиба.

Давайте найдем критические точки для каждой из данных функций:

а) y = 4 - 2x + 7x²

Шаг 1: Найдем производную функции y по x (y'):

y' = d/dx(4 - 2x + 7x²) y' = -2 + 14x

Шаг 2: Найдем значения x, при которых производная равна нулю:

-2 + 14x = 0

Шаг 3: Решим уравнение относительно x:

14x = 2 x = 2/14 x = 1/7

Теперь найдем значение y в точке x = 1/7:

y = 4 - 2(1/7) + 7(1/7)² y = 4 - 2/7 + 1/7 y = 4 - 1/7 y = 27/7

Таким образом, критическая точка функции а) - (1/7, 27/7).

б) y = 1 + x - x²

Шаг 1: Найдем производную функции y по x (y'):

y' = d/dx(1 + x - x²) y' = 1 - 2x

Шаг 2: Найдем значения x, при которых производная равна нулю:

1 - 2x = 0

Шаг 3: Решим уравнение относительно x:

2x = 1 x = 1/2

Теперь найдем значение y в точке x = 1/2:

y = 1 + 1/2 - (1/2)² y = 1 + 1/2 - 1/4 y = 3/4

Таким образом, критическая точка функции б) - (1/2, 3/4).

Пожалуйста, обратите внимание, что в этих точках функции могут иметь локальные экстремумы или точки перегиба. Для того чтобы определить их тип, необходимо исследовать окрестности этих точек или провести дополнительные исследования функции.