Question

Запишите уровнение касательной к графику функции f(x)=4√x+x в точке x₀=1

Answer 1

$f(x)=4\sqrt{x} +x,\ x_o=1\\ y=f'(x_o)(x-x_o)+f(x_o)\\ f(1)=4+1=5\\ f'(x)=\frac{2}{\sqrt{x}} +1;\ f'(1)=2+1=3\\ \Rightarrow y=3(x-1)+5= 3x+2$

Ответ: у=3х+2

Answer 2

Для записи уравнения касательной к графику функции f(x) в точке x₀, нужно найти производную функции f(x) и затем подставить в нее значение x₀.

Дана функция f(x) = 4√x + x.

1. Найдем производную функции f'(x): Для этого воспользуемся правилами дифференцирования.

Правило для √x: (d/dx) √x = (1/2√x)

Правило для x: (d/dx) x = 1

Тогда производная функции f(x) будет: f'(x) = 4 * (1/2√x) + 1 = 2/√x + 1

2. Теперь подставим x₀ = 1 в полученную производную: f'(1) = 2/√1 + 1 = 2 + 1 = 3

Таким образом, значение производной в точке x₀ = 1 равно 3.

3. Уравнение касательной имеет вид: y - f(x₀) = f'(x₀) * (x - x₀)

Подставим значения: y - f(1) = 3 * (x - 1)

Теперь найдем значение f(1): f(1) = 4√1 + 1 = 4 + 1 = 5

Получим окончательное уравнение касательной: y - 5 = 3 * (x - 1)

Это и есть уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x₀ = 1.