Question

ПОМОГИТЕ ПЛИЗЗЗЗЗ!!!! докажите что 16^17+16^16 делиться на 17 5^12+5^10 делиться на 13 49^5+7^8 делиться на 350 321^3-123^3 делиться на 198

Answer 1

Решение во вложении.  

Answer 2

Вот держи......................

Answer 3

Давайте докажем каждое утверждение по отдельности:

1. Докажем, что $16^{17} + 16^{16}$ делится на 17: Мы можем использовать Малую теорему Ферма, которая гласит, что если $p$ - простое число, то для любого целого числа $a$ выполняется $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$, если $p$ не делит $a$. В данном случае $p = 17$ и $a = 16$. Так как $17$ - простое число и $17$ не делит $16$, то: $16^{17} \equiv 16 \pmod{17}$ $16^{16} \equiv 1 \pmod{17}$ Теперь сложим оба выражения: $16^{17} + 16^{16} \equiv 16 + 1 \equiv 17 \equiv 0 \pmod{17}$ Таким образом, $16^{17} + 16^{16}$ делится на $17$.

2. Докажем, что $5^{12} + 5^{10}$ делится на 13: Мы также воспользуемся Малой теоремой Ферма. В данном случае $p = 13$ и $a = 5$. Поскольку $13$ - простое число и $13$ не делит $5$, то: $5^{13} \equiv 5 \pmod{13}$ $5^{12} \equiv 1 \pmod{13}$ Теперь рассмотрим $5^{10}$: $5^{10} = 5^{13-3} = \frac{5^{13}}{5^3} \equiv \frac{5}{5^3} \equiv \frac{1}{5^2} \equiv \frac{1}{25} \equiv 5 \pmod{13}$ Теперь сложим оба выражения: $5^{12} + 5^{10} \equiv 1 + 5 \equiv 6 \pmod{13}$ Таким образом, $5^{12} + 5^{10}$ не делится на $13$.

3. Докажем, что $49^5 + 7^8$ делится на 350: Мы здесь будем использовать факт, что $350 = 2 \cdot 5^2 \cdot 7$. Обратимся к Малой теореме Ферма для $p = 7$ и $a = 7$: $7^7 \equiv 7 \pmod{7}$ $7^8 \equiv 7 \cdot 7 \equiv 49 \equiv -1 \pmod{7}$ Теперь рассмотрим $49^5$: $49^5 = (7^2)^5 = 7^{10} = 7^{8+2} = 7^8 \cdot 7^2 \equiv (-1) \cdot 49 \equiv -49 \equiv 1 \pmod{7}$ Теперь обратимся к $350 = 2 \cdot 5^2 \cdot 7$. Заметим, что $2$ и $5$ не входят в $49^5$ и $7^8$, поэтому нам интересно только, чтобы $7^5 + 7^8$ делилось на $7$. Мы уже показали, что $7^8 \equiv -1 \pmod{7}$