Question

20 баллов Найдите на оси Оу точку, равноудалённую от точек A(-3;7;4) и B(2;-5;-1).

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Чтобы найти точку, которая равноудалена от точек A(-3;7;4) и B(2;-5;-1) на оси Оу, мы можем воспользоваться свойством симметрии.

Для начала, определим координаты этой точки. Поскольку точка равноудалена от A и B, то расстояние от нее до A и B должно быть одинаковым.

Пусть P(x, y, z) - искомая точка. Тогда расстояние от P до A должно быть равно расстоянию от P до B:

√[(x - x₁)² + (y - y₁)² + (z - z₁)²] = √[(x - x₂)² + (y - y₂)² + (z - z₂)²]

где (x₁, y₁, z₁) - координаты точки A, а (x₂, y₂, z₂) - координаты точки B.

Подставим координаты точек A и B:

√[(x + 3)² + (y - 7)² + (z - 4)²] = √[(x - 2)² + (y + 5)² + (z + 1)²]

Так как нас интересует точка на оси Оу, то x = 0.

√[(0 + 3)² + (y - 7)² + (z - 4)²] = √[(0 - 2)² + (y + 5)² + (z + 1)²]

Упростим уравнение:

√[9 + (y - 7)² + (z - 4)²] = √[4 + (y + 5)² + (z + 1)²]

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

9 + (y - 7)² + (z - 4)² = 4 + (y + 5)² + (z + 1)²

Раскроем скобки:

9 + y² - 14y + 49 + z² - 8z + 16 = 4 + y² + 10y + 25 + z² + 2z + 1

Теперь сгруппируем по переменным:

y² - 14y + z² - 8z + 74 = y² + 10y + z² + 2z + 30

Уберем y² и z² из обоих частей уравнения:

-14y - 8z + 44 = 10y + 2z - 44

Теперь сгруппируем по переменным снова:

-14y - 10y = 2z + 8z - 44 - 44

-24y = 10z - 88

Теперь выразим z через y:

10z = 24y + 88

z = (24y + 88) / 10

z = 2.4y + 8.8

Теперь мы знаем, что координаты точки P имеют вид (0, y, 2.4y + 8.8). Чтобы найти значение y, воспользуемся тем фактом, что точка P находится на оси Оу и, следовательно, координата x равна 0.

Теперь воспользуемся условием равноудаленности от точек A и B:

√[(0 + 3)² + (y - 7)² + (2.4y + 8.8 - 4)²] = √[(0 - 2)² + (y + 5)² + (2.4y + 8.8 + 1)²]

Теперь решим уравнение:

√[9 + (y - 7)² + (2.4y + 4.8)²] = √[4 + (y + 5)² + (2.4y + 9.8)²]

Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корней:

9 + (y - 7)² + (2.4y + 4.8)² = 4 + (y + 5)² + (2.4y + 9.8)²

Раскроем скобки:

9 + y² - 14y + 49 + 5.76y² + 11.52y + 22.56 = 4 + y² + 10y + 25 + 5.76y² + 11.52y + 96.04

Теперь сгруппируем по переменным:

y² - 14y + 5.76y² + 11.52y + 81.56 = y² + 10y + 121.04

Теперь упростим уравнение:

6.76y² - 24.52y - 39.48 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

y = (-(-24.52) ± √((-24.52)² - 4 * 6.76 * (-39.48))) / (2 * 6.76)

y = (24.52 ± √(600.9504 + 1070.2592)) / 13.52

y = (24.52 ± √1671.2096) / 13.52

y = (24.52 ± 40.869) / 13.52

Таким образом, у нас есть два значения для y:

1. y₁ = (24.52 + 40.869) / 13.52 ≈ 5.442
2. y₂ = (24.52 - 40.869) / 13.52 ≈ -1.208

Теперь найдем соответствующие значения z для каждого значения y:

1. z₁ = 2.4 * 5.442 + 8.8 ≈ 20.26
2. z₂ = 2.4 * (-1.208) + 8.8 ≈ 5.2

Таким образом, мы получили две точ