Question

Исследовать функцию и построить ее график y=2x^3-3x^2-36x 1)Область определения, непрерывность, чет/нечет, переодичность 2)Асимптоты графика функции 3)Нули функции, интервалы знакопостоянства 4)Возрастание, убывание и экстремумы функции 5)Выпусклость, вогнутость, перегибы функции 6)Доп. точки и график в результате исследования

Answer 1

Исследование функции, график и точки для его построения приведены в приложении.

Answer 2

Для исследования функции $y = 2x^3 - 3x^2 - 36x$ выполним пошаговый анализ:

1. Область определения: Функция определена для всех значений $x$, поскольку $x$ может быть любым вещественным числом.

2. Непрерывность: Функция является многочленом, а многочлены непрерывны на всей числовой прямой.

3. Четность/нечетность: Для определения четности функции рассмотрим замену $x \to -x$: $y(-x) = 2(-x)^3 - 3(-x)^2 - 36(-x) = -2x^3 - 3x^2 + 36x$

Функция не является четной, потому что $y(-x) \neq y(x)$ (коэффициент при $x^3$ отрицателен). Проверим на нечетность: $y(-x) = -2x^3 - 3x^2 + 36x = -(2x^3 - 3x^2 - 36x) = -y(x)$

Функция является нечетной.

4. Периодичность: Функция не является периодической, так как у нее нет периода, т.е. такого числа $p$, что $f(x+p) = f(x)$ для всех $x$.

5. Асимптоты: a) Горизонтальная асимптота: Поскольку степень числителя и знаменателя одинакова (первая), рассмотрим предел функции при $x \to \infty$: $\lim_{x \to \infty} (2x^3 - 3x^2 - 36x) = \infty$

Таким образом, нет горизонтальной асимптоты.

b) Наклонные асимптоты: Функция имеет наклонные асимптоты, если степень числителя больше степени знаменателя на единицу. В данном случае, степень числителя (3) больше степени знаменателя (0) на единицу. Чтобы найти уравнение наклонной асимптоты, выполним деление $2x^3 - 3x^2 - 36x$ на $x$:

$y = \frac{2x^3 - 3x^2 - 36x}{x} = 2x^2 - 3x - 36$

Полученное выражение представляет уравнение наклонной асимптоты. Уравнение $y = 2x^2 - 3x - 36$ задает наклонную асимптоту.

6. Нули функции и интервалы знакопостоянства: Для нахождения нулей функции $2x^3 - 3x^2 - 36x$ приравняем ее к нулю и решим уравнение:

$2x^3 - 3x^2 - 36x = 0$

Выносим общий множитель $x$:

$x(2x^2 - 3x - 36) = 0$

Теперь находим нули:

1. $x = 0$ (первый нуль).

Для решения $2x^2 - 3x - 36 = 0$ воспользуемся квадратным уравнением:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-36) = 9 + 288 = 297$

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{297}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{297}}{4}$

2. $x = \frac{3 + \sqrt{297}}{4}$ (второй нуль).
3. $x = \frac{3 - \sqrt{297}}{4}$ (третий нуль).

Теперь определим интервалы знакопостоянства функции.

a) Интервалы, где функция положительна: Для этого определим знак функции на каждом интервале между найденными нулями:

i) $-\infty < x < \frac{3 - \sqrt{297}}{4}$: Подставим значение из этого интервала в $2x^3 - 3x^2 - 36x$, чтобы определить его знак. Выберем, например, $x = 0$: $2 \cdot 0^3 - 3 \cdot 0^2 - 36 \cdot 0 = 0$