Question

Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки 15 см и 20 см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник

Answer 1

Решение на листочке ===>>

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать свойство вписанной окружности прямоугольного треугольника.

Свойство гласит, что точка касания вписанной окружности с гипотенузой делит её на два отрезка, длины которых равны половине гипотенузы и катета, к которому примыкает эта точка.

Пусть радиус вписанной окружности равен r см.

Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника, образованных биссектрисой прямого угла и радиусом вписанной окружности.

1. Первый треугольник (обозначим его ABC) с катетами 15 см и 20 см. По свойству биссектрисы, длина отрезка на гипотенузе, ближайшего к вершине прямого угла (назовем его AD), будет равна:

AD = (катет1 * гипотенуза) / (катет1 + катет2) = (15 * 20) / (15 + 20) = 300 / 35 ≈ 8.571 см.

2. Второй треугольник (обозначим его ABD) с катетами 15 см и r см. Также по свойству биссектрисы, длина отрезка на гипотенузе, ближайшего к вершине прямого угла (назовем его AE), будет равна:

AE = (катет1 * гипотенуза) / (катет1 + катет2) = (15 * r) / (15 + r) ≈ 8.571 см.

Теперь мы знаем, что AE = AD, так как эти два отрезка являются одним и тем же сегментом биссектрисы прямого угла. Поэтому:

(15 * r) / (15 + r) = 300 / 35.

Теперь решим уравнение относительно r:

35 * 15 * r = 300 * (15 + r), 525r = 4500 + 300r, 525r - 300r = 4500, 225r = 4500, r = 4500 / 225, r = 20.

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 20 см.