Question

Какая функция является первообразной функции f(x)=1/cos^2*2x?

Answer 1

F(x)=1/cos²2x
∫(1/cos²2x)dx=?
2x=t, 2dx=dt, dx=dt/2
∫1/2(1/cos²t)dt=1/2∫dt/cos²t=1/2(tg t)=1/2(tg2x) + c

Answer 2

Для определения первообразной функции $f(x) = \frac{1}{{\cos^2(2x)}}$ мы можем использовать метод интегрирования.

Заметим, что данная функция очень похожа на производную функции $\tan(x)$. Действительно, если взять производную от $\tan(x)$, то получим:

$\frac{d}{dx} \tan(x) = \sec^2(x).$

Теперь заметим, что $2x$ играет роль $x$ в нашей функции $f(x)$. Если мы заменим $x$ на $2x$, то получим:

$\frac{d}{d(2x)} \tan(2x) = \sec^2(2x).$

Таким образом, производная $\tan(2x)$ равна $\sec^2(2x)$, что совпадает с нашей функцией $f(x)$ за исключением константы.

Для нахождения первообразной функции $\tan(2x)$ нам необходимо взять интеграл от $\tan(2x)$ по $x$. Интеграл от $\tan(2x)$ будет равен $-\frac{1}{2} \ln|\cos(2x)| + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Таким образом, первообразной функции $f(x) = \frac{1}{{\cos^2(2x)}}$ является:

$F(x) = -\frac{1}{2} \ln|\cos(2x)| + C,$

где $C$ — произвольная постоянная.