Question

Y=sin4x+18Sqr(x)+cosx*9^x Знайдіть похідну функції

Answer 1

$y=\sin 4x+18\sqrt{x}+ \cos x*9^x\\ \\ y'=4\cos 4x + \frac{9}{ \sqrt{x} } -\sin x*9^x + 9^x \ln 9* \cos x$

Answer 2

Давайте знайдемо похідну функції Y відносно змінної x. Щоб це зробити, застосуємо правила похідних для кожного з трьох доданків окремо.

1. Похідна sin(4x): Правило похідних: d/dx(sin(ax)) = a * cos(ax) Тому похідна sin(4x) відносно x дорівнює: d/dx(sin(4x)) = 4 * cos(4x)

2. Похідна 18 * √x (де √x означає квадратний корінь з x): Правило похідних: d/dx(√x) = (1/2) * x^(-1/2) Тому похідна 18 * √x відносно x дорівнює: d/dx(18 * √x) = 18 * (1/2) * x^(-1/2) = 9 * x^(-1/2)

3. Похідна cos(x) * 9^x: Для знаходження похідної цього доданку скористаємося правилом добутку та ланцюжком (chain rule).

Правило похідних для добутку: d/dx(u * v) = u' * v + u * v' де u' - похідна u відносно x, v - функція змінної x.

Правило похідних для функції a^x, де a - деяке додатнє число: d/dx(a^x) = a^x * ln(a)

Тому похідна cos(x) * 9^x відносно x дорівнює: d/dx(cos(x) * 9^x) = -sin(x) * 9^x + cos(x) * 9^x * ln(9)

Тепер зберемо всі похідні разом:

dY/dx = d/dx(sin(4x) + 18 * √x + cos(x) * 9^x) dY/dx = 4 * cos(4x) + 9 * x^(-1/2) - sin(x) * 9^x + cos(x) * 9^x * ln(9)

Це є похідна функції Y відносно змінної x.