Question

Найти первообразную от cos^45x

Answer 1

........................

Answer 2

Для нахождения первообразной от функции cos^45x, мы можем воспользоваться тригонометрическими идентичностями и заменой переменной.

Используем идентичность: cos^2θ = (1 + cos2θ)/2.

Тогда: cos^45x = (cos^2(22.5x))^2 = ((1 + cos(45x))/2)^2.

Теперь введем новую переменную u = cos(45x), тогда du/dx = -45sin(45x).

Теперь заменим в исходном интеграле все упоминания cos(45x) на u и dx на du: ∫cos^45x dx = ∫((1 + u)/2)^2 * (du/-45)

Проинтегрируем полученное выражение: ∫((1 + u)/2)^2 * (du/-45) = -1/45 * ∫(1 + u)^2 du = -1/45 * ∫(1 + 2u + u^2) du = -1/45 * (u + u^2/2 + u^3/3) + C.

Теперь вернемся к исходной переменной: -1/45 * (cos(45x) + (cos(45x))^2/2 + (cos(45x))^3/3) + C.

Где C - произвольная постоянная. Это и есть искомая первообразная от cos^45x.