Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=1/3x3-4x+1 на отрезке 0;3

Answer 1

F(x)=1/3x^3-4x+1  f'(x)=1/3*3 *x^2-4   f'(x)=x^2-4  x^2-4 =0  x= -2   x=+2
надо проверить три значения 0 ,2 , 3 . -2 не в области определения. 
f(0)=1/3*0-4*0+1 =1   (0,1)  
f(2)=1/3*8-4*2+1 =-4 1/3   ( 2,-4 1/3)
f(3)=1/3*27-4*3+1=-2     (3,-2)  
максимум в точке    (0,1)
главный минимум в точке   (2,-4 1/3)
местный минимум  (3,-2)

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) = (1/3)x^3 - 4x + 1 на отрезке [0, 3], нужно следовать следующим шагам:

1. Найти критические точки функции внутри интервала [0, 3]. Это происходит тогда, когда производная функции равна нулю или не существует.
2. Проверить значения функции в этих критических точках, а также на границах интервала (x=0 и x=3).
3. Найти наибольшее и наименьшее значение среди найденных значений.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x): f'(x) = d/dx [(1/3)x^3 - 4x + 1] f'(x) = x^2 - 4

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение: x^2 - 4 = 0 (x - 2)(x + 2) = 0

Критические точки: x = 2 и x = -2.

Теперь проверим значения функции в этих критических точках и на границах интервала:

• Для x = 0: f(0) = (1/3)(0)^3 - 4(0) + 1 = 1.

• Для x = 2: f(2) = (1/3)(2)^3 - 4(2) + 1 = (8/3) - 8 + 1 = -17/3.

• Для x = 3: f(3) = (1/3)(3)^3 - 4(3) + 1 = 9 - 12 + 1 = -2.

• Для x = -2: f(-2) = (1/3)(-2)^3 - 4(-2) + 1 = (-8/3) + 8 + 1 = 25/3.

Шаг 3: Найдем наибольшее и наименьшее значение среди найденных значений: Наибольшее значение: f(-2) = 25/3 (происходит в точке x = -2). Наименьшее значение: f(2) = -17/3 (происходит в точке x = 2).

Таким образом, наибольшее значение функции на интервале [0, 3] равно 25/3, а наименьшее значение равно -17/3.