Question

Ребята, помогите пожалуйста! Не могу понять, как решается задачка. Если не трудно - объясните пожалуйста. Найти все действительные значения b, при которых X1 и X2 уравнения x^2+bx+4b=0 действительные и такие, что x1>-1 и x2>-1

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Конечно, давайте решим данную задачу.

У нас дано уравнение: x^2 + bx + 4b = 0

Для того чтобы найти значения параметра b, при которых у уравнения будут два действительных корня x1 и x2, мы должны рассмотреть условие дискриминанта.

Дискриминант для квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле: D = b^2 - 4ac

Если D > 0, то у уравнения есть два действительных корня. Если D = 0, то у уравнения есть один действительный корень (корни совпадают). Если D < 0, то у уравнения нет действительных корней (уравнение имеет комплексные корни).

В данном случае, у нас дано уравнение x^2 + bx + 4b = 0, поэтому a = 1, b = b и c = 4b.

Теперь вычислим дискриминант D для нашего уравнения:

D = b^2 - 4ac D = b^2 - 4 * 1 * 4b D = b^2 - 16b

Теперь у нас есть условие, что корни x1 и x2 должны быть больше -1:

x1 > -1 --> корень x1 должен быть больше -1 x2 > -1 --> корень x2 должен быть больше -1

Таким образом, нам нужно найти значения b, при которых D > 0 (чтобы у уравнения было два действительных корня), и оба корня x1 и x2 больше -1.

1. D > 0 b^2 - 16b > 0 b(b - 16) > 0

Теперь рассмотрим знаки в областях между корнями:

lessCopy code
b < 0    -->    b(b - 16) < 0    -->   корни:   -oo < b < 0
0 < b < 16    -->    b(b - 16) > 0    -->   корни:   0 < b < 16
b > 16    -->    b(b - 16) < 0    -->   корни:   b > 16

2) Корни x1 и x2 должны быть больше -1:

Для этого нам нужно проанализировать уравнение x^2 + bx + 4b > 0:

Copy code
x^2 + bx + 4b > 0

Так как у нас уже есть условие D > 0, то у нас есть два действительных корня. Значит, у нас есть парабола, которая "выпуклая вверх" (открывается вверх).

Copy code
x^2 + bx + 4b = 0

Мы хотим найти интервалы, где парабола выше оси X (то есть когда y > 0). В таком случае у нас будут корни x1 и x2, удовлетворяющие условию.

Посмотрим на интервалы:

rustCopy code
-oo < x < -1    -->    x^2 + bx + 4b > 0    -->   корни:   -oo < x < -1
-1 < x < 16    -->    x^2 + bx + 4b > 0    -->   корни:   -1 < x < 16
x > 16    -->    x^2 + bx + 4b > 0    -->   корни:   x > 16

Теперь объединим оба условия:

1. -oo < b < 0, -oo < x < -1
2. 0 < b < 16, -1 < x < 16
3. b > 16, x > 16

Итак, допустимые значения b - это все значения между -oo и 0 (не включая 0), и все значения b между 16 и +oo.

Интервал для b: (-oo, 0) U (16, +oo)